SALI · Bioštatistika 2025/2026 · Téma 5

Štatistika 5 — Výber a odhady parametrov

Populácia vs. Výber · SE · Bodový odhad · Interval spoľahlivosti · CONFIDENCE.NORM / CONFIDENCE.T · Jarque–Bera test
⏱ 120 min 📊 Interaktívne grafy 📐 15 príkladov 📝 Test 10 otázok 🎓 Hodnotenie A–FX

Časový harmonogram hodiny

0–20 min
Populácia vs. výber, CLT, SE
20–40 min
Bodový vs. intervalový odhad
40–65 min
CONFIDENCE.NORM, CONFIDENCE.T, Z vs. t
65–75 min
Jarque–Bera test normality
75–100 min
Príklady 1–15 (z cvičení UVLF)
100–120 min
Test + hodnotenie

Celý postup štatistického odhadu

POPULÁCIAN, μ, σ, π — neznáme
→
VÝBERn, x̄, s, p — vypočítané
→
CLT + SEσ/√n alebo s/√n
→
BODOVÝ ODHADx̄ ≈ μ, p ≈ π
→
ISx̄ ± E

Plán hodiny

1
Populácia vs. Výber, CLT, SE (20 min)
0–20 min
⌄
  • Populácia (N): všetky jednotky záujmu, parametre μ, σ, π — NEZNÁME
  • Výber (n): podmnožina populácie, štatistiky x̄, s, p — VYPOČÍTANÉ
  • Validita: meriam skutočne to, čo chcem? Reliabilita: opakovateľnosť merania
  • CLT (Centrálna limitná veta): ak n ≥ 30, rozdelenie výberových priemerov x̄ je normálne bez ohľadu na rozdelenie populácie
  • SE priemeru: SE = σ/√n (keď σ známe) alebo SE = s/√n (keď σ neznáme)
  • SE podielu: SE = √(π(1−π)/n)  |  podmienky: n·p ≥ 5 a n(1−p) ≥ 5
  • Výberová chyba Δ = x̄ − μ — konkrétny rozdiel (neznámy, len odhadnuteľný)
2
Bodový a intervalový odhad (20 min)
20–40 min
⌄
  • Bodový odhad: jedno číslo (x̄, p, s) — jednoduché, no neudáva neistotu. Excel: =AVERAGE(), =STDEV.S()
  • Intervalový odhad: rozsah (dolná; horná) s udanou hladinou spoľahlivosti (1−α)
  • Hladina spoľahlivosti: 90 %, 95 % (štandard), 99 %. Čím vyššia, tým širší interval
  • Interpretácia: "S 95% spoľahlivosťou leží skutočný μ v intervale ⟨dolná; horná⟩" — NIKDY "s 95% pravdepodobnosťou je μ = x̄"!
  • Chyba odhadu E: polšírka intervalu = z×SE alebo t×SE
3
CONFIDENCE.NORM a CONFIDENCE.T (25 min)
40–65 min
⌄
  • CONFIDENCE.NORM(α; σ; n): Z-rozdelenie — keď σ populácie ZNÁMA alebo n ≥ 30
  • CONFIDENCE.T(α; s; n): t-rozdelenie — keď σ NEZNÁMA, df = n−1 (typický prípad!)
  • Obe funkcie vrácia E (polšírku). IS = (x̄ − E; x̄ + E)
  • Kritické hodnoty Z: 90%→1,645 | 95%→1,960 | 99%→2,576
  • CHYBA: Popisná štatistika (Data Analysis) vždy používa len CONFIDENCE.T — nepoužívame CONFIDENCE.NORM s vlastnou σ!
  • Pre podiel π: IS = p ± z × √(p(1−p)/n)
4
Jarque–Bera test normality (10 min)
65–75 min
⌄
  • H₀: dáta pochádzajú z normálneho rozdelenia (g₁=0, γ₂=0)
  • H₁: dáta nie sú normálne rozdelené
  • Testová štatistika: JB = n/6 × (g₁² + (γ₂²/4)), kde g₁=šikmosť, γ₂=excesívna kurtozis
  • Kritická hodnota: χ²(2; 0,05) = 5,991 (df = 2, α = 0,05)
  • Záver: JB < 5,991 → H₀ sa nezamieta (normalita) | JB ≥ 5,991 → zamietame H₀
  • Excel: g₁ = =SKEW(), γ₂ = =KURT(), JB = n/6*(SKEW()²+KURT()²/4)
5
Test — preskúšanie (20 min)
100–120 min
⌄
  • 5 otázok Pravda/Nepravda + 5 otázok výber zo 4 = 100 bodov
ZnámkaBody%Hodnotenie
A90–10090–100 %Výborne
B80–8980–89 %Veľmi dobre
C70–7970–79 %Dobre
D60–6960–69 %Uspokojivo
E50–5950–59 %Dostatočne
FX0–49pod 50 %Nedostatočne

Vzorce a Excel funkcie — prehľad

── ŠTANDARDNÁ CHYBA ──────────────────────────────────── SE(priemer) = σ/√n keď σ populácie ZNÁMA SE(priemer) = s/√n keď σ neznáma (výberová s) SE(podiel) = √(p(1−p)/n) pre percentá ── INTERVAL SPOĽAHLIVOSTI (IS) ───────────────────────── IS(μ) = x̄ ± z×(σ/√n) Z-rozdelenie (σ ZNÁMA alebo n≥30) IS(μ) = x̄ ± t×(s/√n) t-rozdelenie (σ NEZNÁMA, df=n−1) IS(π) = p ± z×√(p(1−p)/n) pre podiel ── EXCEL FUNKCIE ─────────────────────────────────────── =AVERAGE(dáta) Bodový odhad priemeru x̄ =STDEV.S(dáta) Výberová s (VŽDY STDEV.S, nie STDEV.P!) =COUNT(dáta) Rozsah výberu n =CONFIDENCE.NORM(α,σ,n) Chyba E — Z-rozdelenie (σ ZNÁMA) =CONFIDENCE.T(α,s,n) Chyba E — t-rozdelenie (σ NEZNÁMA) =AVERAGE(d)-CONFIDENCE.T(0.05,STDEV.S(d),COUNT(d)) Dolná hranica IS =AVERAGE(d)+CONFIDENCE.T(0.05,STDEV.S(d),COUNT(d)) Horná hranica IS ── JARQUE–BERA TEST ──────────────────────────────────── g₁ = =SKEW(dáta) Šikmosť γ₂ = =KURT(dáta) Excesívna kurtozis JB = n/6*(SKEW(d)^2+KURT(d)^2/4) Testová štatistika Kritická hodnota: χ²(2; 0,05) = 5,991 =CHISQ.DIST.RT(JB, 2) p-hodnota JB testu

Rozhodovací kľúč: CONFIDENCE.NORM vs. CONFIDENCE.T

SituáciaFunkciaDôvodPríklad (UVLF cvičenie)
σ populácie ZNÁMA + n≥30=CONFIDENCE.NORM(α,σ,n)Z-rozdelenie, σ knownDĺžka femuru psov, n=35, σ=1,20 cm
σ populácie NEZNÁMA + n≥30=CONFIDENCE.NORM(α,s,n)CLT: n≥30 → Z≈tIS hrdinov, n=30 (cvič. IS 90-95-99)
σ populácie NEZNÁMA + n<30=CONFIDENCE.T(α,s,n)t-rozdelenie, malý výberHmotnosť jahniat, n=12; kortizol koní, n=18
Popisná štatistika (Data Analysis)Vždy CONFIDENCE.TObmedzenie Excel — nedá sa zmeniť!Pre CONFIDENCE.NORM vždy počítame manuálne

1. Populácia vs. Výber — základ všetkého

POPULÁCIA (N)
Základný súbor
μ, σ, π — neznáme parametre
Všetky skúmané jednotky. Môže byť konečná alebo nekonečná. Parametre sú NEZNÁME — preto robíme výber! Napr.: všetky psy s cukrovkou v SR, všetky kravy v chovnej oblasti.
VÝBER (n)
Výberový súbor
x̄, s, p — vypočítané štatistiky
Podmnožina populácie, ktorú skutočne skúmame. Štatistiky VYPOČÍTAME a z nich ODHADUJEME parametre. Napr.: n=50 zvierat z UVLF datasetu.
⚠️ Validita vs. Reliabilita: Validita = meriam skutočne to, čo chcem (napr. glukóza, nie kortizol). Reliabilita = meranie dáva opakovateľne rovnaké výsledky (rovnaký prístroj, rovnaký postup). Oboje musí byť zabezpečené pre správne závery!

2. Centrálna limitná veta (CLT) a štandardná chyba

Centrálna limitná veta (CLT) Ak opakujeme výber veľkosti n z ľubovoľnej populácie, rozdelenie výberových priemerov x̄ sa blíži normálnemu rozdeleniu, keď n → ∞. Pre praktické účely: n ≥ 30 postačuje.
Výberové priemery sa rozkladajú okolo μ s rozptylom σ²/n → smerodajná odchýlka = SE = σ/√n.
Štandardná chyba priemeru (SE) SE = σ/√n (σ populácie známa)  |  SE = s/√n (σ neznáma — typický prípad)
SE opisuje PRESNOSŤ PRIEMERU ako odhadu μ — nie variabilitu meraní (to je s)!
Čím väčší n, tým menší SE → presnejší odhad μ (~ 1/√n zákon).
💡 Výberová chyba vs. SE: Výberová chyba Δ = x̄ − μ je konkrétny rozdiel (neznámy). SE = s/√n je odhad toho, ako veľká výberová chyba môže byť. V praxi nepoznáme Δ, ale viem odhadnúť, aká môže byť, pomocou SE.

3. Bodový vs. Intervalový odhad

BODOVÝ ODHAD
Jedna hodnota ako odhad
=AVERAGE(dáta) → x̄ ≈ μ
✅ Jednoduchý, konkrétny.
❌ Nevieme, ako veľmi sa mýlime.
Ako povedať: "Cena bytu bude 250 000 €" — presné, ale nevieme neistotu.
INTERVALOVÝ ODHAD (IS)
Rozsah s udanou spoľahlivosťou
IS = (x̄ − E ; x̄ + E)
✅ Zahŕňa neistotu merania.
✅ Udáva spoľahlivosť (1−α).
Ako povedať: "Cena bytu bude 230 000 – 270 000 €" — menej presné, ale realistické.
⚠️ Správna interpretácia IS! Správne: "S 95% spoľahlivosťou leží skutočný priemer μ v intervale ⟨x̄−E; x̄+E⟩."
NESPRÁVNE: "S 95% pravdepodobnosťou je μ = x̄" — μ je fixné (neznáme), nie náhodné!

4. Z-rozdelenie vs. t-rozdelenie

Z-ROZDELENIE
Keď σ populácie ZNÁMA
=CONFIDENCE.NORM(α; σ; n)
Vzorec: x̄ ± z(α/2) × (σ/√n)
Krit. hodnoty: 90%→1,645 | 95%→1,960 | 99%→2,576
Tiež pri n≥30 (CLT zaručuje normalitu).
Excel: α=0,05 pre 95% IS.
T-ROZDELENIE
Keď σ NEZNÁMA (typicky!)
=CONFIDENCE.T(α; s; n)
Vzorec: x̄ ± t(α/2; n−1) × (s/√n)
df = n−1 (stupne voľnosti)
Ťažšie chvosty ako N(0,1) → širší IS!
Pri n≥30: T ≈ Z (minimálny rozdiel).
V praxi: takmer vždy T!

5. Jarque–Bera test normality

Jarque–Bera (JB) test Testuje, či dáta pochádzajú z normálneho rozdelenia na základe šikmosti (g₁) a kurtozis (γ₂).
JB = n/6 × (g₁² + γ₂²/4)
H₀: g₁=0 a γ₂=0 (normálne rozdelenie). Kritická hodnota: χ²(2; 0,05) = 5,991
JB hodnotaZáverInterpretáciaĎalší postup
JB < 5,991H₀ sa nezamietaDáta sú konzistentné s normálnym rozdelenímParametrické testy (t-test, ANOVA) sú vhodné
JB ≥ 5,991Zamietame H₀Dáta NIE SÚ normálne rozdelenéNeparametrické testy, transformácia, logaritmovanie
💡 Excel: g₁ = =SKEW(data), γ₂ = =KURT(data), JB = =COUNT(data)/6*(SKEW(data)^2+KURT(data)^2/4). Pre p-hodnotu: =CHISQ.DIST.RT(JB_hodnota, 2). Z UVLF datasetu (hmotnosť, n=50): JB = 1,645 < 5,991 → H₀ sa nezamieta → normalita potvrdená.

Vizualizácia kľúčových konceptov: výberové rozdelenie, SE, IS a vplyv n na šírku intervalu.

Graf 1 — Výberové rozdelenie priemerov (CLT): 1000 výberov n=30 z populácie N(28,6) — priemery sa distribuujú normálne
Rozdelenie výberových priemerov x̄ (SE=6/√30=1,10)
μ=28 (skutočný parameter populácie)
Graf 2 — Vplyv n na šírku IS (95%): s=6, μ=28 — väčší výber = užší interval
Intervalové odhady (rôzne n)
Skutočné μ=28
Graf 3 — Porovnanie troch hladín spoľahlivosti 90/95/99% pre rovnaké dáta (x̄=18,25, σ=1,2, n=35)
90 % IS (najužší)
95 % IS (štandard)
99 % IS (najširší)
Graf 4 — SE klesá s rastúcim n (s=6): Zákon 1/√n — zdvojnásobenie n zmenší SE 1,41×
SE = s/√n (klesajúca krivka)
s = 6,00 (konštantná smerodajná odchýlka)
Graf 5 — Jarque–Bera test: Šikmosť a Kurtozis UVLF datasetu (n=50, Telesná hmotnosť psov)
Distribúcia hmotností (histogram)
Normálna krivka (referencia)
g₁=−0,42, γ₂=−0,28, JB=1,65 < 5,991 → normalita

Príklady priamo z cvičení UVLF (súbory Cvičenie_IS_Claudia.xlsx, KOncept_IS.xlsx, 3__UVLF_Deskriptivna_JB.xlsx). Všetky riešenia cez Excel funkcie.

📝 10 otázok⏱ 20 minút 🎯 Každá otázka = 10 bodov🎓 FX = menej ako 50 %
0 / 10 zodpovedaných

Doplňujúce materiály

⚠️ Najčastejšie chyby — opravené z cvičení UVLF

💻 Excel — kompletné vzorce pre IS (kopírovacie šablóny)

Čo počítameExcel vzorecPoznámka
Priemer x̄=AVERAGE(A2:A51)Bodový odhad μ
Výberová s=STDEV.S(A2:A51)NIKDY STDEV.P!
n=COUNT(A2:A51)Rozsah výberu
SE = s/√n=STDEV.S(A2:A51)/SQRT(COUNT(A2:A51))Štandardná chyba
E (95%, Z)=CONFIDENCE.NORM(0.05,σ,COUNT(A2:A51))σ musí byť POPULAČNÁ
E (95%, T)=CONFIDENCE.T(0.05,STDEV.S(A2:A51),COUNT(A2:A51))Typický prípad!
Dolná hranica=AVERAGE(A2:A51)-CONFIDENCE.T(0.05,STDEV.S(A2:A51),COUNT(A2:A51))x̄ − E
Horná hranica=AVERAGE(A2:A51)+CONFIDENCE.T(0.05,STDEV.S(A2:A51),COUNT(A2:A51))x̄ + E
JB štatistika=COUNT(A2:A51)/6*(SKEW(A2:A51)^2+KURT(A2:A51)^2/4)Porovnaj s 5,991
JB p-hodnota=CHISQ.DIST.RT(JB_bunka,2)p<0,05 → nezamieta H₀

🧠 Kontrolné otázky