Štatistika 2 — Popisná štatistika

Časový harmonogram hodiny

0–15 min

Druhy štatistických postupov

15–35 min

Triedenie údajov, intervalové triedy

35–55 min

Tabuľky početností, druhy početností

55–75 min

Grafy — kvalitatívne aj kvantitatívne

75–100 min

Príklady 1–15

100–120 min

Test + hodnotenie

Plán hodiny

1

Druhy štatistických postupov (15 min)

0–15 min

⌄

Popisná (deskriptívna) — opisuje a sumarizuje dáta bez vyvodzovania záverov na populáciu
Induktívna (inferenčná) — vyvodzuje závery o populácii z výberu (testovanie hypotéz, odhady)
Parametrická — predpokladá normálne rozdelenie (t-test, ANOVA, Pearsonova korelácia)
Neparametrická — bez predpokladu rozdelenia (Mann-Whitney, Kruskal-Wallis, Spearmanova kor.)
Jednorozmerná — analýza jednej premennej (frekvenčné tabuľky, histogramy)
Viacrozmerná — analýza viacerých premenných (korelácia, regresia, zhluková analýza)

2

Triedenie údajov a intervalové triedy (20 min)

15–35 min

⌄

Variačný rad — zoradenie hodnôt od najmenšej po najväčšiu
Rozsah: R = x_max − x_min
Počet tried: k ≈ √n (alebo Sturgesovo pravidlo: k = 1 + 3,32·log n)
Šírka triedy: h = R / k (zaokrúhlená na praktickú hodnotu)
Hranice tried: dolná = x_min − h/2, horné = pravostranné otvorené intervaly
Stred triedy: x_i = (dolná + horná hranica) / 2

3

Tabuľky a druhy početností (20 min)

35–55 min

⌄

Frekvenčná tabuľka — pre kvalitatívne aj kvantitatívne dáta
Kontingenčná tabuľka — vzájomný vzťah dvoch kategoriálnych znakov
Absolútna početnosť n_i — priamy počet jedincov v triede
Relatívna početnosť f_i = n_i/n — podiel z celkového počtu
Kumulatívna absolútna N_i — súhrnný počet po i-tu triedu
Kumulatívna relatívna F_i — súhrnný podiel po i-tu triedu
Hustota početnosti h_i = f_i/d — výška stĺpca histogramu

4

Grafy pre kvalitatívne a kvantitatívne dáta (20 min)

55–75 min

⌄

Stĺpcový graf — kategórie na osi X, početnosť na osi Y (kvalitatívne/diskrétne)
Koláčový graf — podiely z celku, max. 5–6 kategórií
Paretov diagram — stĺpce zostupne + kumulatívna krivka, pravidlo 80/20
Histogram — spojité dáta, stĺpce bez medzier, výška = f_i alebo n_i
Box-plot — 5-číselný súhrn: Min, Q1, Me, Q3, Max, IQR, outliers
Scatter plot — vzťah dvoch kvantitatívnych premenných, smer a sila korelácie
Čiarový graf — trend v čase (časové rady)

5

Príklady 1–15 (25 min)

75–100 min

⌄

P1–P3: Triedenie údajov — variačný rad, triedy, Sturgesovo pravidlo
P4–P6: Frekvenčné tabuľky — kvalitatívne dáta, krvné skupiny, kontingenčná tabuľka
P7–P9: Kvantitatívne tabuľky — výpočet n_i, f_i, N_i, F_i, h_i
P10–P12: Grafy — výber správneho grafu, Paretov diagram, histogram, box-plot
P13–P15: Interpretácia výsledkov, IQR, outliers, porovnanie skupín

6

Test — preskúšanie (20 min)

100–120 min

⌄

5 otázok Pravda / Nepravda (5 × 10 bodov)
5 otázok výber zo 4 možností (5 × 10 bodov)
Celkom 100 bodov, automatické hodnotenie A–FX

Známka	Body	%	Hodnotenie
A	90–100	90–100 %	Výborne
B	80–89	80–89 %	Veľmi dobre
C	70–79	70–79 %	Dobre
D	60–69	60–69 %	Uspokojivo
E	50–59	50–59 %	Dostatočne
FX	0–49	pod 50 %	Nedostatočne

Prehľad — vzorce na prvý pohľad

Veličina	Vzorec	Popis	Príklad (psy, n=12)
Rozsah R	x_max − x_min	Rozpätie celého súboru	45 − 18 = 27 kg
Počet tried k	1 + 3,32·log(n)	Sturgesovo pravidlo	1 + 3,32·log(12) ≈ 4,6 → k=4
Šírka triedy h	R / k	Zaokrúhliť nahor	27/4 = 6,75 → h=7
Relatívna poč. f_i	n_i / n	Podiel z celkového n	3/12 = 0,250 = 25 %
Kum. abs. N_i	Σn_j (j≤i)	Súhrnný počet po triedu i	3+4=7 jedincov do 32 kg
Kum. rel. F_i	Σf_j (j≤i)	Súhrnný podiel po triedu i	0,250+0,333=0,583 (58,3 %)
Hustota h_i	f_i / d	Výška stĺpca histogramu	0,250/7 = 0,036
IQR	Q3 − Q1	Interkvartilové rozpätie	35 − 25 = 10 kg
Outlier (horný)	x_i > Q3 + 1,5·IQR	Odľahlá hodnota zhora	> 35 + 1,5·10 = 50 kg

1. Druhy štatistických postupov

POPISNÁ

Deskriptívna štatistika

Opisuje dostupné dáta bez vyvodzovania záverov
Tabuľky početností, grafy
Miery polohy: priemer, medián, modus
Miery variability: rozptyl, s

INDUKTÍVNA

Inferenčná štatistika

Záver o populácii z výberu
Testovanie hypotéz, intervalové odhady
Regresná analýza, ANOVA
Závisí od predpokladov o rozdelení

PARAMETRICKÁ

Parametrická štatistika

Predpokladá normálne rozdelenie
t-test, ANOVA, Pearsonova korelácia
Lineárna regresia
Vhodná pre spojité dáta

NEPARAMETRICKÁ

Neparametrická štatistika

Bez predpokladu o rozdelení
Mann-Whitney U, Kruskal-Wallis
Spearmanova korelácia
Vhodná pre ordinálne a nenormálne dáta

2. Postup triedenia údajov

1

Zoradenie — Variačný rad

Usporiadame hodnoty od najmenšej po najväčšiu. Príklad: 18, 22, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 35, 38, 41, 45 (hmotnosti psov v kg)

2

Rozsah R = x_max − x_min

R = 45 − 18 = 27 kg. Rozsah určuje celkovú variabilitu súboru — ako ďaleko sú od seba krajné hodnoty.

3

Počet tried k — Sturgesovo pravidlo

k = 1 + 3,32·log(n) = 1 + 3,32·log(12) = 1 + 3,58 ≈ 4,58 → k = 4 (zaokrúhlime). Alternatíva: k ≈ √n = √12 ≈ 3,46 → k = 4.

4

Šírka triedy h = R/k

h = 27/4 = 6,75 → zaokrúhlime na h = 7 (praktická hodnota). Šírka musí byť rovnaká pre všetky triedy!

5

Hranice tried

Dolná hranica 1. triedy = x_min − h/2 = 18 − 3,5 = 14,5. Triedy: ⟨14,5; 21,5), ⟨21,5; 28,5), ⟨28,5; 35,5), ⟨35,5; 42,5⟩. Prakticky: ⟨18–25), ⟨25–32), ⟨32–39), ⟨39–46).

⚠️ Každá trieda musí byť pravostranné otvorené: ⟨a; b) znamená a ≤ x < b. Hodnota b patrí do nasledujúcej triedy. Výnimka: posledná trieda je uzavretá: ⟨a; b⟩.

3. Druhy početností

nᵢ

Absolútna početnosť

nᵢ = počet prvkov v i-tej triede

Priamy počet jedincov (hodnôt) patriacich do danej triedy. Príklad: 3 psy v triede ⟨18–25) kg → n₁ = 3

fᵢ

Relatívna početnosť

fᵢ = nᵢ / n (0 ≤ fᵢ ≤ 1)

Podiel triedy na celkovom rozsahu výberu n. Suma všetkých fᵢ = 1. Príklad: f₁ = 3/12 = 0,250 = 25 %

Nᵢ

Kumulatívna absolútna

Nᵢ = n₁ + n₂ + … + nᵢ

Súhrnný počet jedincov od 1. po i-tu triedu. Posledná Nₖ = n. Príklad: N₂ = 3+4 = 7 (do 32 kg)

Fᵢ

Kumulatívna relatívna

Fᵢ = f₁ + f₂ + … + fᵢ

Súhrnný relatívny podiel po i-tu triedu. Posledná Fₖ = 1,000. Základ pre kvantilovú analýzu.

hᵢ

Hustota početnosti

hᵢ = fᵢ / d (d = šírka triedy)

Relatívna početnosť prepočítaná na jednotku šírky triedy. Výška stĺpca histogramu! Príklad: h₁ = 0,250/7 = 0,036

Kompletná tabuľka — Hmotnosti psov (n = 12)

Trieda (kg)	Stred xᵢ	nᵢ	fᵢ	fᵢ (%)	Nᵢ	Fᵢ	hᵢ = fᵢ/7
⟨18–25)	21,5	3	0,250	25,0 %	3	0,250	0,036
⟨25–32)	28,5	4	0,333	33,3 %	7	0,583	0,048
⟨32–39)	35,5	3	0,250	25,0 %	10	0,833	0,036
⟨39–46⟩	42,5	2	0,167	16,7 %	12	1,000	0,024
Spolu	—	12	1,000	100,0 %	—	—	—

4. Výber správneho grafu

Typ grafu	Typ dát	Účel	Výhody / Obmedzenia
Stĺpcový	Kvalitatívne / diskrétne	Porovnanie kategórií	Jednoduchý; nevhodný pre veľa kategórií
Koláčový	Kvalitatívne (podiely)	Štruktúra celku	Ľahko čitateľný; max. 5–6 kategórií
Paretov	Kvalitatívne (zoradené)	Prioritizácia príčin	Identifikuje 80/20; komplexnejší
Histogram	Kvantitatívne spojité	Rozdelenie premennej	Závisí od počtu tried; tvar rozdelenia
Box-plot	Kvantitatívne	Poloha + variabilita + outliers	Robustný; vhodný na porovnanie skupín
Scatter plot	2 kvantitatívne	Závislosť (korelácia)	Vizualizuje vzťah; nevhodný pre veľké n
Čiarový	Časové rady	Trend v čase	Zmena v čase; body musia byť usporiadané

5. Box-plot — 5-číselný súhrn

Zložky box-plotu Minimum · Q1 (25. percentil) · Medián Me (50. percentil) · Q3 (75. percentil) · Maximum
IQR = Q3 − Q1 (interkvartilové rozpätie — stredných 50 % dát)
Odľahlé hodnoty (outliers): x > Q3 + 1,5·IQR alebo x < Q1 − 1,5·IQR

💡 Box-plot je robustný voči odľahlým hodnotám — na rozdiel od priemeru nie je nimi ovplyvnený. Ideálny na porovnanie dvoch alebo viacerých skupín vedľa seba.

Interaktívne vizualizácie všetkých typov grafov popisnej štatistiky. Každý graf je doplnený komentárom o správnom použití.

Graf 1 — Stĺpcový graf + Paretov diagram: Príčiny hospitalizácie psov (n = 200)

Absolútna početnosť

Kumulatívna % (Paretova krivka)

Hranica 80 %

Paretov diagram: kategórie zoradené zostupne + kumulatívna krivka. Pravidlo 80/20: prvé 2–3 príčiny tvoria ~80 % všetkých hospitalizácií → prioritizácia preventívnych opatrení.

Graf 2 — Histogram: Hmotnosti psov (n = 12) s hustotou početnosti hᵢ

Absolútna početnosť nᵢ (ľavá os)

Hustota početnosti hᵢ = fᵢ/d (pravá os)

Histogram: stĺpce sa dotýkajú (spojitá premenná). Plocha stĺpca = fᵢ = hᵢ × d. Najviac psov má hmotnosť v triede ⟨25–32) kg (n₂=4). Tvar naznačuje mierne pravostranné (kladné) rozdelenie.

Graf 3 — Box-plot: Porovnanie telesnej hmotnosti psov podľa pohlavia

Samce (n=15)

Samice (n=12)

● Odľahlé hodnoty

Box-plot zobrazuje 5-číselný súhrn. Samce majú vyšší medián hmotnosti a väčšie IQR. Odľahlá hodnota u samíc (48 kg) je identifikovaná pomocou pravidla Q3 + 1,5·IQR.

Graf 4 — Koláčový graf: Rozdelenie krvných skupín (n = 125)

A (36 %)

0 (32 %)

B (22,4 %)

AB (9,6 %)

Koláčový graf je vhodný pre max. 5–6 kategórií. Každý výsek = relatívna početnosť fᵢ (%). Krvná skupina A je dominantná (36 %).

Graf 5 — Scatter plot: Vzťah hmotnosti a dávky antibiotika

Každý pes (hmotnosť × dávka)

Regresná priamka (pozitívna korelácia)

Scatter plot ukazuje pozitívnu koreláciu: ťažšie psy dostávajú vyššiu celkovú dávku. Každý bod = jeden pacient. Regresná priamka vizualizuje trend.

Klikni na Zobraziť postup až po vlastnom pokuse. Príklady sú zostavené z veterinárskych dát UVLF.

📝 10 otázok ⏱ 20 minút 🎯 Každá otázka = 10 bodov 🎓 FX = menej ako 50 %

0 / 10 zodpovedaných

Doplňujúce materiály

📌 Najčastejšie chyby pri tvorbe tabuľok a grafov

Nerovnaká šírka tried: Každá trieda musí mať rovnakú šírku d — inak výška histogramu nekoduje početnosť správne.
Zámennosť histogramu a stĺpcového grafu: Histogram = spojité dáta, stĺpce sa dotýkajú. Stĺpcový graf = kategórie, medzery medzi stĺpcami.
Koláčový graf s veľa kategóriami: Pri >6 kategóriách je koláčový graf neprehľadný — použijeme stĺpcový alebo Paretov.
Zabudnutie na hustotu hᵢ: Keď porovnávame triedy rôznej šírky, výška stĺpca histogramu = hᵢ, nie fᵢ.
Ignorovanie outlierov: Pred analýzou vždy skontrolovať — môžu to byť chyby merania alebo skutočné biologické anomálie.

💻 Excel — funkcie pre popisnú štatistiku

Funkcia	Popis	Príklad
=FREQUENCY(data,triedy)	Absolútne početnosti nᵢ — viacbunková maticová funkcia	=FREQUENCY(A2:A13,E2:E5)
=COUNTIF(rozsah,krit.)	Počet hodnôt spĺňajúcich podmienku	=COUNTIF(A:A,"A")
=PERCENTILE(data,k)	k-tý percentil (0 ≤ k ≤ 1)	=PERCENTILE(A2:A13,0.25)
=QUARTILE(data,q)	Kvartily (q = 1,2,3)	=QUARTILE(A2:A13,1) = Q1
=LARGE(data,k)	k-tá najväčšia hodnota	=LARGE(A2:A13,1) = max

🧠 Kontrolné otázky

Prečo sa pri histograme stĺpce dotýkajú a pri stĺpcovom grafe nie?
Ako Paretov diagram pomáha pri rozhodovaní v klinickej veterinárnej praxi?
Kedy je vhodnejšie použiť hustotu početnosti hᵢ namiesto fᵢ?
Čo nám hovorí kumulatívna relatívna početnosť F₂ = 0,583 v príklade s psami?
Ako by ste identifikovali outlier pomocou box-plotu v biologickom datasete?