Sústavy lineárnych rovníc

Plán prednášky

Blok 1 / 2Sústavy lineárnych rovníc — Gaussova eliminačná metóda⏱ 120 min

1Sústava a jej maticový zápis15 min⌄

A · x = b, rozšírená matica (A | b)

2Možné prípady riešenia10 min⌄

žiadne / práve jedno / nekonečne veľa riešení, hodnosť h(A), h(A | b)

3Ekvivalentné úpravy ER1 – ER4, schodíkovitý tvar20 min⌄

pivot, schodíkovitý tvar matice

4Gaussova eliminačná metóda45 min⌄

6 riešených príkladov z prezentácie vrátane prípadov bez riešenia a s nekonečne veľa riešeniami

5Cvičenia + test (časť 1)30 min⌄

8 cvičení od ľahkých po náročné, otázky 1 – 5

Blok 2 / 2Matice, determinanty a Cramerovo pravidlo⏱ 120 min

1Matica a determinant15 min⌄

štvorcová, regulárna a singulárna matica

2Determinant 2. a 3. rádu25 min⌄

a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁, Sarrusovo pravidlo

3Cramerovo pravidlo40 min⌄

x_i = D_i / D, podmienka D ≠ 0, príklady 2 × 2 a 3 × 3

4Cvičenia + test (časť 2) + odoslanie v PDF40 min⌄

9 cvičení, otázky 6 – 10, jedno hodnotenie A–FX

🎯 Blok 1Študent vie zapísať sústavu maticou, upraviť rozšírenú maticu ekvivalentnými úpravami na schodíkovitý tvar a určiť riešenie Gaussovou eliminačnou metódou.

🎯 Blok 2Študent vie vypočítať determinant 2. a 3. rádu a riešiť sústavu Cramerovým pravidlom.

Klasifikácia

Známka	Percento	Slovné hodnotenie
A	90 – 100 %	Výborne
B	80 – 89 %	Veľmi dobre
C	70 – 79 %	Dobre
D	60 – 69 %	Uspokojivo
E	50 – 59 %	Dostatočne
FX	0 – 49 %	Nedostatočne

Blok 1 / 2Výpočet lineárnej a kvadratickej rovnice⏱ 120 min

A. Lineárna rovnica

1. Čo je lineárna rovnica

Lineárna rovnica
Rovnica, v ktorej sa neznáma x vyskytuje len v prvej mocnine (žiadne x², žiadne x v menovateli). Má tvar ax + b = cx + d. Po úprave dostaneme x = číslo — rovnica má jedno riešenie.

Vzorce na zapamätanie:

Typ	Vzorec	Riešenie / význam
Lineárna rovnica	ax + b = 0	koreň x = −b / a
Kvadratická rovnica	ax² + bx + c = 0	korene x_1,2 = (−b ± √D) / (2a)
Diskriminant	D = b² − 4ac	určuje počet reálnych koreňov

Blok 1 / 2Sústavy lineárnych rovníc — Gaussova eliminačná metóda⏱ 120 min

1. Sústava lineárnych rovníc a jej maticový zápis

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂
⋮
a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m
kde a_ij ∈ ℝ sú koeficienty, b_i ∈ ℝ pravé strany a x₁, …, x_n neznáme. Riešením sústavy je každá usporiadaná n-tica (x₁; …; x_n), ktorá vyhovuje všetkým rovniciam súčasne.

Objekt	Zápis	Príklad pre sústavu x₁ + x₂ + x₃ = 6, 2x₁ − x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₂ − 3x₃ = −4
matica sústavy (koeficientová)	A = (a_ij)	A = 1112−1112−3
vektor neznámych	x	x = x₁x₂x₃
vektor pravých strán	b	b = 63−4
maticový tvar	A · x = b	1112−1112−3 · x₁x₂x₃ = 63−4
rozšírená matica sústavy	(A \| b)	11162−11312−3−4

2. Možné prípady riešenia

Pri riešení sústav lineárnych (algebrických) rovníc môžu nastať tri prípady. Rozhoduje o nich hodnosť h — počet nenulových riadkov matice v schodíkovitom tvare (Frobeniova veta):

Prípad	Podmienka (n = počet neznámych)	V schodíkovitom tvare vidíme	Pre 2 neznáme (dve priamky)
1. nemá riešenie	h(A) ≠ h(A \| b)	riadok (0 0 … 0 \| c), c ≠ 0 → spor 0 = c	rovnobežné priamky
2. práve jedno riešenie	h(A) = h(A \| b) = n	toľko nenulových riadkov, koľko je neznámych	priamky sa pretínajú v jednom bode
3. nekonečne veľa riešení	h(A) = h(A \| b) < n	menej nenulových riadkov ako neznámych	priamky splývajú

práve jedno riešenie

x + y = 3, x − y = 1 → (2; 1)

nemá riešenie

x + y = 3, x + y = 1 → spor

nekonečne veľa riešení

x + y = 3, 2x + 2y = 6

🎯 Základný cieľ: riešiť sústavu lineárnych rovníc znamená nájsť všetky jej riešenia.

3. Ekvivalentné úpravy sústavy

Ekvivalentná úprava nemení množinu riešení sústavy. Pre rozšírenú maticu sústavy (riadky R₁, R₂, …) sú to:

Úprava	Zápis	Prečo nemení riešenie	Príklad
ER1 výmena poradia rovníc	R_i ↔ R_j	sústava je konjunkcia (logické „a“) rovníc — poradie nemá vplyv na spoločné riešenie	2x+ y= 5x− y= 1 ⇔ x− y= 12x+ y= 5
ER2 vynásobenie rovnice konštantou k ≠ 0	R_i ← k · R_i	novú rovnicu možno vydelením číslom k ≠ 0 previesť späť na pôvodnú	3x − 6y = 9 ⇔ x − 2y = 3 (k = 1/3)
ER3 pripočítanie k-násobku inej rovnice	R_i ← R_i + k · R_j	k obom stranám R_i pripočítame to isté číslo (ľavá strana R_j = pravá strana R_j); späť: R_i ← R_i − k · R_j	R₁: x + y = 4, R₂: 2x + 3y = 9; R₂ − 2R₁: y = 1
ER4 vynechanie (pridanie) rovnice, ktorá je lineárnou kombináciou iných	vynechať nulový riadok (0 = 0) alebo násobok iného riadku	takáto rovnica neprináša novú informáciu	x + y = 3 a 2x + 2y = 6 → druhú možno vynechať

⚠ ER3 je najdôležitejšia úprava Gaussovej eliminácie — používa sa na vynulovanie koeficientov pod pivotom. Násobiť rovnicu nulou nie je ekvivalentná úprava.

4. Schodíkovitý tvar matice

p∗∗∗∗0p∗∗∗000p∗00000

p = pivot (≠ 0), ∗ = ľubovoľné číslo

Pivot (vedúci prvok riadku)
prvý nenulový prvok v riadku (čítané zľava).

Matica je v schodíkovitom tvare, ak:

nulové riadky sú dole — ak je i-tý riadok nulový, všetky riadky pod ním sú tiež nulové;
ak je pivot i-teho riadku v j-tom stĺpci, všetky prvky v prvých j stĺpcoch v nasledujúcich riadkoch sú nulové — každý ďalší pivot je viac vpravo (schody).

Blok 1 / 2Sústavy lineárnych rovníc — Gaussova eliminačná metóda⏱ 120 min

5. Gaussova eliminačná metóda

Princíp
Postupné vylučovanie (eliminovanie) neznámych. Rozšírenú maticu sústavy (A | b) upravujeme ekvivalentnými úpravami ER1 – ER4 na schodíkovitý tvar a potom riešime spätným dosadzovaním od poslednej rovnice k prvej.

📋 Postup

Zapíšte rozšírenú maticu (A | b).
Zvoľte pivot v 1. stĺpci (ideálne 1 alebo −1; ak treba, vymeňte riadky — ER1).
Pomocou ER3 vynulujte všetky prvky pod pivotom (R_i ← R_i − k · R₁).
To isté zopakujte v 2. stĺpci pod novým pivotom atď. až po schodíkovitý tvar; ak je to výhodné, riadok vykráťte (ER2).
Porovnajte h(A) a h(A | b) a rozhodnite o počte riešení.
Pri jedinom riešení vypočítajte neznáme spätným dosadzovaním a urobte skúšku.

⚠ Ak vám po úprave 1. stĺpca nevyjdú pod pivotom nuly, niekde je chyba vo výpočte.

Riešené príklady z prezentácie

Príklad 1jedno riešenie

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁+ x₂+ x₃= 62x₁− x₂+ x₃= 3x₁+ 2x₂− 3x₃= −4

Vynulovanie prvkov pod pivotom a₁₁ = 1 — podrobne

Úprava R₂ ← R₂ − 2 · R₁:

stĺpec	pôvodný R₂	−2 · R₁	nový R₂
x₁	2	−2 · 1 = −2	2 − 2 = 0
x₂	−1	−2 · 1 = −2	−1 − 2 = −3
x₃	1	−2 · 1 = −2	1 − 2 = −1
pravá str.	3	−2 · 6 = −12	3 − 12 = −9

Úprava R₃ ← R₃ − 1 · R₁:

stĺpec	pôvodný R₃	−1 · R₁	nový R₃
x₁	1	−1 · 1 = −1	1 − 1 = 0
x₂	2	−1 · 1 = −1	2 − 1 = 1
x₃	−3	−1 · 1 = −1	−3 − 1 = −4
pravá str.	−4	−1 · 6 = −6	−4 − 6 = −10

Celý postup

11162−11312−3−4rozšírená matica (A | b)~11160−3−1−901−4−10R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ − R₁~111601−4−100−3−1−9R₂ ↔ R₃~111601−4−1000−13−39R₃ ← R₃ + 3R₂~111601−4−1000−1−3R₃ ← R₃ : 13

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: −1·x₃ = −3 ⇒ x₃ = 3
z 2. riadku: 1·x₂ + (−4)·(3) = −10 ⇒ x₂ = 2
z 1. riadku: 1·x₁ + (1)·(2) + (1)·(3) = 6 ⇒ x₁ = 1

💡 Výmenou R₂ ↔ R₃ získame pivot a₂₂ = 1 a ďalšie úpravy sú celočíselné. Riešenie je usporiadaná trojica celých čísel.

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (1; 2; 3)

Príklad 2jedno riešenie

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁+ x₂+ 2x₃= 82x₁+ 3x₂− x₃= 53x₁− x₂− 3x₃= −2

112823−153−1−3−2rozšírená matica (A | b)~112801−5−110−4−9−26R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ − 3R₁~112801−5−1100−29−70R₃ ← R₃ + 4R₂

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: −29·x₃ = −70 ⇒ x₃ = 7029
z 2. riadku: 1·x₂ + (−5)·(70/29) = −11 ⇒ x₂ = 3129
z 1. riadku: 1·x₁ + (1)·(31/29) + (2)·(70/29) = 8 ⇒ x₁ = 6129

Vysvetlenie úpravy R₃ ← R₃ + 4R₂ (nový pivot a₂₂ = 1):

x₂: −4 + 4 · 1 = 0
x₃: −9 + 4 · (−5) = −29
pravá strana: −26 + 4 · (−11) = −70

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (61/29; 31/29; 70/29)

ℹ V prezentácii má tento príklad nadpis „sústava s celočíselným riešením“, riešenie však nie je celočíselné: x₃ = 70/29, x₂ = 31/29, x₁ = 61/29 (skúška: 61/29 + 31/29 + 140/29 = 232/29 = 8 ✓).

Príklad 3Príklad 1 a) — nemá riešenie

Riešte sústavu: −2x₁+ x₂+ x₃= 1x₁− 2x₂+ x₃= 1x₁+ x₂− 2x₃= 1

−21111−21111−21rozšírená matica (A | b)~1−211−211111−21R₁ ↔ R₂~1−2110−33303−30R₂ ← R₂ + 2R₁
R₃ ← R₃ − R₁~1−2110−11101−10R₂ ← R₂ : 3
R₃ ← R₃ : 3~1−2110−1110001R₃ ← R₃ + R₂

posledný riadok znamená rovnicu 0 = 1 — spor
h(A) = 2, h(A | b) = 3 → h(A) ≠ h(A | b)

Výsledok: sústava nemá riešenie, K = ∅

Príklad 4Príklad 1 b) — nekonečne veľa riešení

Riešte sústavu: 3x₁+ 3x₂+ 3x₃= 36x₁+ 3x₂+ 6x₃= 126x₁+ 6x₂+ 6x₃= 6

3333636126666rozšírená matica (A | b)~33330−3060000R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ − 2R₁~33330−1020000R₂ ← R₂ : 3

h(A) = h(A | b) = 2 < 3 (počet neznámych) → nekonečne veľa riešení
za 1 neznámu zvolíme parameter t ∈ ℝ

Všeobecné riešenie:

z 2. riadku: −3x₂ = 6 ⇒ x₂ = −2
z 1. riadku: 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ = 3 ⇒ x₁ + x₃ = 1 − x₂ = 3
zvolíme x₃ = t ∈ ℝ ⇒ x₁ = 3 − t

Výsledok: K = {(3 − t; −2; t); t ∈ ℝ}

Príklad 5Príklad 1 c) — jedno riešenie

Riešte sústavu: −x₁+ 2x₂− 10x₃= −40−4x₁− 4x₂− 8x₃= −12x₁+ 3x₂+ 9x₃= 45

−12−10−40−4−4−8−1213945rozšírená matica (A | b)~−12−10−400−123214805−15R₂ ← R₂ − 4R₁
R₃ ← R₃ + R₁~−12−10−400−383705−15R₂ ← R₂ : 4~−12−10−400−38370037200R₃ ← 3R₃ + 5R₂

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: 37·x₃ = 200 ⇒ x₃ = 20037
z 2. riadku: −3·x₂ + (8)·(200/37) = 37 ⇒ x₂ = 7737
z 1. riadku: −1·x₁ + (2)·(77/37) + (−10)·(200/37) = −40 ⇒ x₁ = −36637

💡 Všetky tri riadky sú nenulové: h(A) = 3 (pred čiarou) a h(A | b) = 3 (celá matica) → sústava má práve jedno riešenie.

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (−366/37; 77/37; 200/37)

Príklad 6zlomkové riešenie

Riešte sústavu: x₁+ 2x₂− x₃= 42x₁− x₂+ 3x₃= 1−x₁+ 3x₂+ 2x₃= 7

12−142−131−1327rozšírená matica (A | b)~12−140−55−705111R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ + R₁~12−140−55−70064R₃ ← R₃ + R₂~12−140−55−70032R₃ ← R₃ : 2

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: 3·x₃ = 2 ⇒ x₃ = 23
z 2. riadku: −5·x₂ + (5)·(2/3) = −7 ⇒ x₂ = 3115
z 1. riadku: 1·x₁ + (2)·(31/15) + (−1)·(2/3) = 4 ⇒ x₁ = 815

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (8/15; 31/15; 2/3)

Blok 1 / 2Sústavy lineárnych rovníc — Gaussova eliminačná metóda⏱ 120 min

Cvičenia — Gaussova eliminačná metóda

Najprv riešte sami, potom odkryte postup.

🟢 Ľahké

Cvičenie 1Ľahký

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁+ x₂= 52x₁− x₂= 1

1152−11rozšírená matica (A | b)~1150−3−9R₂ ← R₂ − 2R₁~1150−1−3R₂ ← R₂ : 3

h(A) = h(A | b) = 2 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 2. riadku: −1·x₂ = −3 ⇒ x₂ = 3
z 1. riadku: 1·x₁ + (1)·(3) = 5 ⇒ x₁ = 2

Výsledok: (x₁; x₂) = (2; 3)

Cvičenie 2Ľahký

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁− 2x₂= −13x₁+ x₂= 11

1−2−13111rozšírená matica (A | b)~1−2−10714R₂ ← R₂ − 3R₁~1−2−1012R₂ ← R₂ : 7

h(A) = h(A | b) = 2 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 2. riadku: 1·x₂ = 2 ⇒ x₂ = 2
z 1. riadku: 1·x₁ + (−2)·(2) = −1 ⇒ x₁ = 3

Výsledok: (x₁; x₂) = (3; 2)

Cvičenie 3Ľahký

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁+ x₂+ x₃= 3x₁− x₂+ x₃= 1x₁+ x₂− x₃= 1

11131−11111−11rozšírená matica (A | b)~11130−20−200−2−2R₂ ← R₂ − R₁
R₃ ← R₃ − R₁~11130−10−100−1−1R₂ ← R₂ : 2
R₃ ← R₃ : 2

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: −1·x₃ = −1 ⇒ x₃ = 1
z 2. riadku: −1·x₂ = −1 ⇒ x₂ = 1
z 1. riadku: 1·x₁ + (1)·(1) + (1)·(1) = 3 ⇒ x₁ = 1

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (1; 1; 1)

🔵 Stredné

Cvičenie 4Stredný

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁+ 2x₂+ x₃= 82x₁+ x₂− x₃= 1x₁− x₂+ 2x₃= 5

121821−111−125rozšírená matica (A | b)~12180−3−3−150−31−3R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ − R₁~12180−1−1−50−31−3R₂ ← R₂ : 3~12180−1−1−500412R₃ ← R₃ − 3R₂~12180−1−1−50013R₃ ← R₃ : 4

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: 1·x₃ = 3 ⇒ x₃ = 3
z 2. riadku: −1·x₂ + (−1)·(3) = −5 ⇒ x₂ = 2
z 1. riadku: 1·x₁ + (2)·(2) + (1)·(3) = 8 ⇒ x₁ = 1

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (1; 2; 3)

Cvičenie 5Stredný

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: 2x₁+ x₂− x₃= 3x₁− x₂+ x₃= 03x₁+ 2x₂+ x₃= 10

21−131−11032110rozšírená matica (A | b)~1−11021−1332110R₁ ↔ R₂~1−11003−3305−210R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ − 3R₁~1−11001−1105−210R₂ ← R₂ : 3~1−11001−110035R₃ ← R₃ − 5R₂

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: 3·x₃ = 5 ⇒ x₃ = 53
z 2. riadku: 1·x₂ + (−1)·(5/3) = 1 ⇒ x₂ = 83
z 1. riadku: 1·x₁ + (−1)·(8/3) + (1)·(5/3) = 0 ⇒ x₁ = 1

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (1; 8/3; 5/3)

Cvičenie 6Stredný

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁+ x₂+ x₃= 22x₁+ 2x₂+ 2x₃= 5x₁− x₂+ x₃= 0

111222251−110rozšírená matica (A | b)~111200010−20−2R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ − R₁~111200010−10−1R₃ ← R₃ : 2~11120−10−10001R₂ ↔ R₃

posledný riadok znamená rovnicu 0 = 1 — spor
h(A) = 2, h(A | b) = 3 → h(A) ≠ h(A | b)

Výsledok: sústava nemá riešenie, K = ∅

🔴 Náročné

Cvičenie 7Náročný

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: x₁+ x₂− x₃= 12x₁+ 3x₂+ x₃= 43x₁+ 4x₂= 5

11−1123143405rozšírená matica (A | b)~11−1101320132R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ − 3R₁~11−1101320000R₃ ← R₃ − R₂

h(A) = h(A | b) = 2 < 3 (počet neznámych) → nekonečne veľa riešení
za 1 neznámu zvolíme parameter t ∈ ℝ

Výsledok: nekonečne veľa riešení (h(A) = h(A | b) < počet neznámych)

Cvičenie 8Náročný

Riešte sústavu Gaussovou eliminačnou metódou: 2x₁+ 3x₂− x₃= 54x₁− x₂+ 2x₃= 3−2x₁+ x₂+ 3x₃= 1

23−154−123−2131rozšírená matica (A | b)~23−150−74−70426R₂ ← R₂ − 2R₁
R₃ ← R₃ + R₁~23−150−74−70213R₃ ← R₃ : 2~23−150−74−700157R₃ ← 7R₃ + 2R₂

h(A) = h(A | b) = 3 → práve jedno riešenie; spätné dosadzovanie:

z 3. riadku: 15·x₃ = 7 ⇒ x₃ = 715
z 2. riadku: −7·x₂ + (4)·(7/15) = −7 ⇒ x₂ = 1915
z 1. riadku: 2·x₁ + (3)·(19/15) + (−1)·(7/15) = 5 ⇒ x₁ = 56

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (5/6; 19/15; 7/15)

Blok 2 / 2Matice, determinanty a Cramerovo pravidlo⏱ 120 min

1. Matica a determinant

Matica typu m × n je obdĺžniková tabuľka čísel a_ij s m riadkami a n stĺpcami: A = (a_ij), i = 1, …, m, j = 1, …, n. Ak m = n, matica je štvorcová rádu n.

Determinant štvorcovej matice A je číslo det A (zapisujeme aj |A| alebo D). Matica je regulárna, ak det A ≠ 0, a singulárna, ak det A = 0.

2. Výpočet determinantu 2. rádu

a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂ = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁súčin na hlavnej diagonále mínus súčin na vedľajšej diagonále

Príklad: 3−214 = 3·4 − (−2)·1 = 14

3. Výpočet determinantu 3. rádu — Sarrusovo pravidlo

a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃ = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃

a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃

pod determinant pripíšeme 1. a 2. riadok

Pod determinant pripíšeme prvé dva riadky.
Súčiny troch prvkov na hlavných diagonálach (zľava hore doprava dole) berieme so znamienkom +.
Súčiny na vedľajších diagonálach (sprava hore doľava dole) berieme so znamienkom −.
Záporné prvky dosadzujeme v zátvorkách.

⚠ Sarrusovo pravidlo platí iba pre determinanty 3. rádu.

Príklad: 1112−1112−3 = [1·(−1)·(−3) + 1·1·1 + 1·2·2] − [1·(−1)·1 + 1·1·2 + 1·2·(−3)]
= (3 + 1 + 4) − ((−1) + 2 + (−6)) = 8 − (−5) = 13

Blok 2 / 2Matice, determinanty a Cramerovo pravidlo⏱ 120 min

4. Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je metóda riešenia sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi pomocou determinantov. Používa sa vtedy, keď je koeficientová matica A regulárna, t. j. D = det A ≠ 0. V takom prípade má sústava práve jedno riešenie.

x_i = D_iD = det A_idet A, i = 1, 2, …, nA_i je matica, ktorá vznikne z A nahradením i-teho stĺpca vektorom pravých strán b

Podmienka použitia	Výhoda	Nevýhoda
D = det A ≠ 0. Ak D = 0, sústava nemá jednoznačné riešenie (má nekonečne veľa riešení alebo žiadne) — Cramerovo pravidlo nemožno použiť.	priamy vzorec bez postupnej eliminácie	výpočtovo náročné pre veľké sústavy, prakticky sa používa najmä pre sústavy 2 × 2 a 3 × 3

📋 Postup

Zapíšte A a b; vypočítajte D = det A. Ak D = 0, skončite.
Pre každú neznámu x_i nahraďte i-ty stĺpec matice A vektorom b a vypočítajte D_i.
x_i = D_i / D.
Urobte skúšku dosadením do všetkých rovníc.

Riešené príklady

Príklad 1sústava 2 × 2

Riešte sústavu Cramerovým pravidlom: 2x₁+ 3x₂= 7x₁− x₂= 1

Maticový zápis

A = 231−1, x = x₁x₂, b = 71

Výpočet determinantov

D = 231−1 = 2·(−1) − 3·1 = −5
D₁ (stĺpec 1 nahradíme vektorom b) = 731−1 = 7·(−1) − 3·1 = −10
D₂ (stĺpec 2 nahradíme vektorom b) = 2711 = 2·1 − 7·1 = −5

Riešenie

x₁ = D₁D = −10−5 = 2
x₂ = D₂D = −5−5 = 1

✓ Kontrola: 2·2 + 3·1 = 7; 1·2 + (−1)·1 = 1 ✓

Výsledok: (x₁; x₂) = (2; 1)

Príklad 2príklad z prezentácie — 3 × 3

Riešte sústavu Cramerovým pravidlom: −x₁+ 2x₂− 10x₃= −40−4x₁− 4x₂− 8x₃= −12x₁− 3x₂+ 9x₃= 45

Maticový zápis

A = −12−10−4−4−81−39, x = x₁x₂x₃, b = −40−1245

Výpočet determinantov

D = −12−10−4−4−81−39 = [(−1)·(−4)·9 + 2·(−8)·1 + (−10)·(−4)·(−3)] − [(−10)·(−4)·1 + (−1)·(−8)·(−3) + 2·(−4)·9]
= (36 + (−16) + (−120)) − (40 + (−24) + (−72)) = −100 − (−56) = −44
D₁ (stĺpec 1 nahradíme vektorom b) = −402−10−12−4−845−39 = [(−40)·(−4)·9 + 2·(−8)·45 + (−10)·(−12)·(−3)] − [(−10)·(−4)·45 + (−40)·(−8)·(−3) + 2·(−12)·9]
= (1440 + (−720) + (−360)) − (1800 + (−960) + (−216)) = 360 − 624 = −264
D₂ (stĺpec 2 nahradíme vektorom b) = −1−40−10−4−12−81459 = [(−1)·(−12)·9 + (−40)·(−8)·1 + (−10)·(−4)·45] − [(−10)·(−12)·1 + (−1)·(−8)·45 + (−40)·(−4)·9]
= (108 + 320 + 1800) − (120 + 360 + 1440) = 2228 − 1920 = 308
D₃ (stĺpec 3 nahradíme vektorom b) = −12−40−4−4−121−345 = [(−1)·(−4)·45 + 2·(−12)·1 + (−40)·(−4)·(−3)] − [(−40)·(−4)·1 + (−1)·(−12)·(−3) + 2·(−4)·45]
= (180 + (−24) + (−480)) − (160 + (−36) + (−360)) = −324 − (−236) = −88

Riešenie

x₁ = D₁D = −264−44 = 6
x₂ = D₂D = 308−44 = −7
x₃ = D₃D = −88−44 = 2

✓ Kontrola: (−1)·6 + 2·(−7) + (−10)·2 = −40; (−4)·6 + (−4)·(−7) + (−8)·2 = −12; 1·6 + (−3)·(−7) + 9·2 = 45 ✓

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (6; −7; 2)

ℹ Oprava oproti prezentácii: D₁ = −264 a D = −44, preto x₁ = −264 / (−44) = 6 (nie 4). Skúška: −6 − 14 − 20 = −40 ✓, −24 + 28 − 16 = −12 ✓, 6 + 21 + 18 = 45 ✓. Táto sústava má v 3. rovnici −3x₂, preto má iné riešenie ako príklad 1 c) z Bloku 1 (tam je +3x₂).

Blok 2 / 2Matice, determinanty a Cramerovo pravidlo⏱ 120 min

Cvičenia — determinanty a Cramerovo pravidlo

Najprv riešte sami, potom odkryte postup.

A. Determinanty

Cvičenie 1Ľahký

Vypočítajte determinant 3214.

💡 Najprv si uvedomte: 2. rád: hlavná diagonála mínus vedľajšia.

Výpočet:

3214 = 3·4 − 2·1 = 10

Výsledok: det = 10

Cvičenie 2Ľahký

Vypočítajte determinant −253−1.

💡 Najprv si uvedomte: 2. rád: hlavná diagonála mínus vedľajšia.

Výpočet:

−253−1 = −2·(−1) − 5·3 = −13

Výsledok: det = −13

Cvičenie 3Stredný

Vypočítajte determinant 123014560.

💡 Najprv si uvedomte: Sarrusovo pravidlo: 3 súčiny so znamienkom +, 3 so znamienkom −.

Výpočet:

123014560 = [1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6] − [3·1·5 + 1·4·6 + 2·0·0]
= (0 + 40 + 0) − (15 + 24 + 0) = 40 − 39 = 1

Výsledok: det = 1

Cvičenie 4Stredný

Vypočítajte determinant 2−10132014.

💡 Najprv si uvedomte: Sarrusovo pravidlo: 3 súčiny so znamienkom +, 3 so znamienkom −.

Výpočet:

2−10132014 = [2·3·4 + (−1)·2·0 + 0·1·1] − [0·3·0 + 2·2·1 + (−1)·1·4]
= (24 + 0 + 0) − (0 + 4 + (−4)) = 24 − 0 = 24

Výsledok: det = 24

B. Cramerovo pravidlo

Cvičenie 5Ľahký

Riešte sústavu Cramerovým pravidlom: 3x₁+ 2x₂= 12x₁− x₂= −1

Maticový zápis

A = 321−1, x = x₁x₂, b = 12−1

Výpočet determinantov

D = 321−1 = 3·(−1) − 2·1 = −5
D₁ (stĺpec 1 nahradíme vektorom b) = 122−1−1 = 12·(−1) − 2·(−1) = −10
D₂ (stĺpec 2 nahradíme vektorom b) = 3121−1 = 3·(−1) − 12·1 = −15

Riešenie

x₁ = D₁D = −10−5 = 2
x₂ = D₂D = −15−5 = 3

✓ Kontrola: 3·2 + 2·3 = 12; 1·2 + (−1)·3 = −1 ✓

Výsledok: (x₁; x₂) = (2; 3)

Cvičenie 6Stredný

Riešte sústavu Cramerovým pravidlom: 2x₁− 3x₂= 45x₁+ x₂= −7

Maticový zápis

A = 2−351, x = x₁x₂, b = 4−7

Výpočet determinantov

D = 2−351 = 2·1 − (−3)·5 = 17
D₁ (stĺpec 1 nahradíme vektorom b) = 4−3−71 = 4·1 − (−3)·(−7) = −17
D₂ (stĺpec 2 nahradíme vektorom b) = 245−7 = 2·(−7) − 4·5 = −34

Riešenie

x₁ = D₁D = −1717 = −1
x₂ = D₂D = −3417 = −2

✓ Kontrola: 2·(−1) + (−3)·(−2) = 4; 5·(−1) + 1·(−2) = −7 ✓

Výsledok: (x₁; x₂) = (−1; −2)

Cvičenie 7Stredný

Riešte sústavu Cramerovým pravidlom: x₁+ x₂+ x₃= 62x₁− x₂+ x₃= 3x₁+ 2x₂− 3x₃= −4

Maticový zápis

A = 1112−1112−3, x = x₁x₂x₃, b = 63−4

Výpočet determinantov

D = 1112−1112−3 = [1·(−1)·(−3) + 1·1·1 + 1·2·2] − [1·(−1)·1 + 1·1·2 + 1·2·(−3)]
= (3 + 1 + 4) − ((−1) + 2 + (−6)) = 8 − (−5) = 13
D₁ (stĺpec 1 nahradíme vektorom b) = 6113−11−42−3 = [6·(−1)·(−3) + 1·1·(−4) + 1·3·2] − [1·(−1)·(−4) + 6·1·2 + 1·3·(−3)]
= (18 + (−4) + 6) − (4 + 12 + (−9)) = 20 − 7 = 13
D₂ (stĺpec 2 nahradíme vektorom b) = 1612311−4−3 = [1·3·(−3) + 6·1·1 + 1·2·(−4)] − [1·3·1 + 1·1·(−4) + 6·2·(−3)]
= ((−9) + 6 + (−8)) − (3 + (−4) + (−36)) = −11 − (−37) = 26
D₃ (stĺpec 3 nahradíme vektorom b) = 1162−1312−4 = [1·(−1)·(−4) + 1·3·1 + 6·2·2] − [6·(−1)·1 + 1·3·2 + 1·2·(−4)]
= (4 + 3 + 24) − ((−6) + 6 + (−8)) = 31 − (−8) = 39

Riešenie

x₁ = D₁D = 1313 = 1
x₂ = D₂D = 2613 = 2
x₃ = D₃D = 3913 = 3

✓ Kontrola: 1·1 + 1·2 + 1·3 = 6; 2·1 + (−1)·2 + 1·3 = 3; 1·1 + 2·2 + (−3)·3 = −4 ✓

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (1; 2; 3)

Cvičenie 8Náročný

Riešte sústavu Cramerovým pravidlom: 2x₁+ x₂− x₃= 1x₁+ 3x₂+ 2x₃= 133x₁− x₂+ x₃= 4

Maticový zápis

A = 21−11323−11, x = x₁x₂x₃, b = 1134

Výpočet determinantov

D = 21−11323−11 = [2·3·1 + 1·2·3 + (−1)·1·(−1)] − [(−1)·3·3 + 2·2·(−1) + 1·1·1]
= (6 + 6 + 1) − ((−9) + (−4) + 1) = 13 − (−12) = 25
D₁ (stĺpec 1 nahradíme vektorom b) = 11−113324−11 = [1·3·1 + 1·2·4 + (−1)·13·(−1)] − [(−1)·3·4 + 1·2·(−1) + 1·13·1]
= (3 + 8 + 13) − ((−12) + (−2) + 13) = 24 − (−1) = 25
D₂ (stĺpec 2 nahradíme vektorom b) = 21−11132341 = [2·13·1 + 1·2·3 + (−1)·1·4] − [(−1)·13·3 + 2·2·4 + 1·1·1]
= (26 + 6 + (−4)) − ((−39) + 16 + 1) = 28 − (−22) = 50
D₃ (stĺpec 3 nahradíme vektorom b) = 21113133−14 = [2·3·4 + 1·13·3 + 1·1·(−1)] − [1·3·3 + 2·13·(−1) + 1·1·4]
= (24 + 39 + (−1)) − (9 + (−26) + 4) = 62 − (−13) = 75

Riešenie

x₁ = D₁D = 2525 = 1
x₂ = D₂D = 5025 = 2
x₃ = D₃D = 7525 = 3

✓ Kontrola: 2·1 + 1·2 + (−1)·3 = 1; 1·1 + 3·2 + 2·3 = 13; 3·1 + (−1)·2 + 1·3 = 4 ✓

Výsledok: (x₁; x₂; x₃) = (1; 2; 3)

Cvičenie 9Náročný

Možno sústavu x₁+ 2x₂+ 3x₃= 12x₁+ 4x₂+ 6x₃= 2x₁− x₂+ x₃= 0 riešiť Cramerovým pravidlom?

💡 Najprv si uvedomte: Najprv vždy vypočítajte D = det A.

Riešenie:

D = 1232461−11 = [1·4·1 + 2·6·1 + 3·2·(−1)] − [3·4·1 + 1·6·(−1) + 2·2·1]
= (4 + 12 + (−6)) − (12 + (−6) + 4) = 10 − 10 = 0
D = 0 → matica A je singulárna → Cramerovo pravidlo nemožno použiť
Gaussovou elimináciou: 2. rovnica je dvojnásobok 1. (ER4) → h(A) = h(A | b) = 2 < 3 → nekonečne veľa riešení

Výsledok: nie, D = 0; sústava má nekonečne veľa riešení

Záverečný test

20 otázok, každá za 1 bod. Časť A: rozhodni, či je výrok pravdivý. Časť B: vyber jednu správnu odpoveď. Po vyhodnotení sa zobrazí vysvetlenie.

Po zvolení odpovede hneď uvidíš, či je správna, aj vysvetlenie. Odpoveď sa potom už nedá zmeniť.

Plán prednášky

Klasifikácia

A. Lineárna rovnica

1. Čo je lineárna rovnica

1. Sústava lineárnych rovníc a jej maticový zápis

2. Možné prípady riešenia

práve jedno riešenie

nemá riešenie

nekonečne veľa riešení

3. Ekvivalentné úpravy sústavy

4. Schodíkovitý tvar matice

5. Gaussova eliminačná metóda

Riešené príklady z prezentácie

Vynulovanie prvkov pod pivotom a11 = 1 — podrobne

Celý postup

Cvičenia — Gaussova eliminačná metóda

1. Matica a determinant

2. Výpočet determinantu 2. rádu

3. Výpočet determinantu 3. rádu — Sarrusovo pravidlo

4. Cramerovo pravidlo

Riešené príklady

Cvičenia — determinanty a Cramerovo pravidlo

Záverečný test

💾 Uložiť a odoslať test

Vynulovanie prvkov pod pivotom a₁₁ = 1 — podrobne