120:00
PREDNÁŠKA · MATEMATIKA 5 · 2 BLOKY

Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej

Derivácia funkcie · pravidlá derivovania · mnohočleny · ax, ln x · sin, cos · súčin · podiel · reťazové pravidlo · VSTE

⏱ 2 × 120 min📐 34 riešených príkladov z prezentácie✏️ 20 nových príkladov (ľahké → náročné)📝 Test 10 otázok — jedno hodnotenie📧 Odoslanie testu v PDF🎓 Klasifikácia A–FX

Plán prednášky

Blok 1 / 2Derivácia — pravidlá, mnohočleny, exponenciálne a logaritmické funkcie⏱ 120 min
1Čo je diferenciálny počet, základné pojmy15 min⌄
  • Derivácia v bode ako limita, geometrický a fyzikálny význam
  • Dotyčnica ku grafu f(x) = x² v bode [1; 1]
2Hlavné pravidlá derivovania15 min⌄
  • Linearita, rozdiel, súčin, podiel, reťazové pravidlo
  • Tabuľka derivácií elementárnych funkcií
3Mnohočleny35 min⌄
  • (xa)′ = a · xa−1, derivácia člen po člene
  • 11 riešených príkladov z prezentácie
4Odmocnina, ax, ln x, zložený exponent30 min⌄
  • ∛x4 + 5x − ln x, 45x, 2−3x, 3−2x+4, √x3 + 2x − 3 ln x, ln(5x² + 3)
5Príklady 1 – 13 + test (časť 1)25 min⌄
  • Samostatná práca, otázky 1 – 5
Blok 2 / 2Derivácia — goniometrické funkcie, súčin, podiel, reťazové pravidlo⏱ 120 min
1Goniometrické funkcie15 min⌄
  • (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, 5 sin(2x) − 3 cos x
2Derivácia súčinu25 min⌄
  • (u · v)′ = u′v + uv′ — 4 riešené príklady
3Derivácia podielu20 min⌄
  • (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² — 3 riešené príklady
4Zložený argument a mocniny sin, cos35 min⌄
  • sin(kx), cos(kx); [g(x)n]′ = n · g(x)n−1 · g′(x) — 9 riešených príkladov
5Príklady 14 – 20 + test (časť 2) + odoslanie v PDF25 min⌄
  • Jedno hodnotenie A–FX za celý test
🎯 Blok 1Študent pozná význam derivácie a vie derivovať mnohočleny, odmocniny, exponenciálne a logaritmické funkcie.
🎯 Blok 2Študent vie derivovať goniometrické funkcie a použiť pravidlá pre súčin, podiel a zloženú funkciu.

Klasifikácia

ZnámkaPercentoSlovné hodnotenie
A90 – 100 %Výborne
B80 – 89 %Veľmi dobre
C70 – 79 %Dobre
D60 – 69 %Uspokojivo
E50 – 59 %Dostatočne
FX0 – 49 %Nedostatočne
Blok 1 / 2Výpočet lineárnej a kvadratickej rovnice⏱ 120 min

A. Lineárna rovnica

1. Čo je lineárna rovnica

Lineárna rovnica
Rovnica, v ktorej sa neznáma x vyskytuje len v prvej mocnine (žiadne x², žiadne x v menovateli). Má tvar ax + b = cx + d. Po úprave dostaneme x = číslo — rovnica má jedno riešenie.

Vzorce na zapamätanie:

TypVzorecRiešenie / význam
Lineárna rovnicaax + b = 0koreň x = −b / a
Kvadratická rovnicaax² + bx + c = 0korene x1,2 = (−b ± √D) / (2a)
DiskriminantD = b² − 4acurčuje počet reálnych koreňov
Blok 1 / 2Derivácia — pravidlá, mnohočleny, exponenciálne a logaritmické funkcie⏱ 120 min

1. Čo je diferenciálny počet

Diferenciálny počet
Časť matematiky (analýzy), ktorá sa zaoberá zmenami funkcií. V centre pozornosti je derivácia — nástroj, ktorý nám hovorí, ako rýchlo sa funkcia mení v určitom bode.

2. Základné pojmy

PojemZápisVýznam
Funkcia jednej reálnej premennejf: ℝ → ℝ,  y = f(x)napríklad f(x) = x2
Derivácia funkcie v bode x0f′(x0) = limh→0 f(x0 + h) − f(x0)htento limit vyjadruje okamžitú rýchlosť zmeny funkcie v bode x0
Geometrický významf′(x0) = kderivácia je smernica (sklon) dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode
Fyzikálny významv(t) = s′(t)ak s(t) opisuje polohu telesa v čase, potom s′(t) je jeho rýchlosť

Geometrický význam — príklad

f(x) = x2, bod x0 = 1:

  1. f′(x) = 2x
  2. f′(1) = 2 · 1 = 2 → dotyčnica v bode [1; 1] má smernicu k = 2
  3. rovnica dotyčnice: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1

💡 Čím je derivácia väčšia, tým strmšie graf v danom bode stúpa. Záporná derivácia → graf klesá; nulová → dotyčnica je vodorovná.

3. Hlavné pravidlá derivovania

PravidloVzorecSlovami
Linearita (súčet, násobok)(a·f(x) + b·g(x))′ = a·f′(x) + b·g′(x)konštantu opíšeme, každý člen derivujeme zvlášť
Rozdiel(f(x) − g(x))′ = f′(x) − g′(x)derivujeme člen po člene
Súčin(f(x) · g(x))′ = f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x)(u · v)′ = u′v + uv′
Podiel(f(x)g(x))′ = f′(x)·g(x) − f(x)·g′(x)[g(x)]2(uv)′ = u′v − uv′v2
Zložená funkcia (reťazové pravidlo)(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)derivácia vonkajšej funkcie krát derivácia vnútornej

Derivácie elementárnych funkcií (používame v príkladoch)

FunkciaDeriváciaFunkciaDerivácia
c (konštanta)0xnn · xn−1
exexaxax · ln a
ln x1x√x = x1/212√x
sin xcos xcos x−sin x
au(x)au(x) · ln a · u′(x)ln u(x)u′(x)u(x)
Blok 1 / 2Derivácia — pravidlá, mnohočleny, exponenciálne a logaritmické funkcie⏱ 120 min

4. Mnohočlen — vzorec

(xa)′ = a · xa−1exponent „spadne“ dopredu a hore sa o 1 zníži
Príklad 1mnohočlen
f(x) = x5 − 7x2 + 3x − 5
Postup riešenia:
  1. Rozdelenie na jednotlivé členy: f′(x) = (x5 − 7x2 + 3x − 5)′ = (x5)′ − (7x2)′ + (3x)′ − (5)′
  2. Aplikácia pravidla pre deriváciu mocniny a vytknutie konštánt (derivácia konštanty 5 je 0): = 5x4 − 7 · (x2)′ + 3 · (x)′ − 0
  3. Dopočítanie derivácií jednotlivých členov: = 5x4 − 7 · 2 · x1 + 3 · 1
  4. Výsledok: = 5x4 − 14x + 3
🧮 Pomocný výpočet (derivácia 3x): (3x)′ = 3 · 1 · x0 = 3 · 1 = 3
Výsledná derivácia: f′(x) = 5x4 − 14x + 3
Príklad 2mnohočlen
f(x) = x6 − 4x3 + 9x − 2
Postup riešenia:
  1. Rozdelenie na jednotlivé členy — derivujeme každý člen zvlášť: f′(x) = (x6)′ − (4x3)′ + (9x)′ − (2)′
  2. Aplikácia pravidiel a vytknutie konštánt: použijeme (xn)′ = n · xn−1; konštanty (čísla pred x) opíšeme; samostatné číslo má deriváciu 0 → = 6x5 − 4 · (x3)′ + 9 · (x)′ − 0
  3. Dopočítanie derivácií (zníženie mocniny): = 6x5 − 4 · 3 · x2 + 9 · 1
  4. Výsledok (vynásobenie čísel): = 6x5 − 12x2 + 9
Výsledná derivácia: f′(x) = 6x5 − 12x2 + 9
🔎 Vysvetlenie krokov

Tento postup sa opiera o tri základné pravidlá:

  1. Pravidlo súčtu/rozdielu: (u + v)′ = u′ + v′
    • preto sme mohli funkciu rozdeliť na štyri samostatné časti a derivovať každú zvlášť
  2. Pravidlo pre mocninu: (xn)′ = n · xn−1
    • exponent „spadne“ dopredu a hore sa o jedno zníži (napr. z x3 sa stane 3x2)
  3. Pravidlo pre konštantu: (c)′ = 0
    • ak je číslo samo bez x (v našom prípade −2), jeho derivácia je nula a vypadne
Príklad 3mnohočlen
f(x) = 2x4 + 5x3 − 8x + 10
Postup riešenia:
  1. Rozdelenie na jednotlivé členy: f′(x) = (2x4)′ + (5x3)′ − (8x)′ + (10)′
  2. Aplikácia pravidla pre deriváciu mocniny a vytknutie konštánt (derivácia konštanty 10 je 0): = 2 · (x4)′ + 5 · (x3)′ − 8 · (x)′ + 0
  3. Dopočítanie derivácií jednotlivých členov: = 2 · 4 · x3 + 5 · 3 · x2 − 8 · 1
  4. Výsledok: = 8x3 + 15x2 − 8
⚡ Rýchla kontrola: 2x4 → 2 · 4 = 8, exponent 4 − 1 = 3 → 8x3 · 5x3 → 5 · 3 = 15, exponent 3 − 1 = 2 → 15x2 · −8x → ostane len číslo → −8 · 10 → zmizne → 0
Výsledná derivácia: f′(x) = 8x3 + 15x2 − 8
Príklad 4mnohočlen
f(x) = 3x5 − x2 + 6x − 1
Postup riešenia:
  1. Rozdelenie na jednotlivé členy: f′(x) = (3x5)′ − (x2)′ + (6x)′ − (1)′
  2. Aplikácia pravidla pre deriváciu mocniny a vytknutie konštánt (derivácia konštanty 1 je 0): = 3 · (x5)′ − (x2)′ + 6 · (x)′ − 0
  3. Dopočítanie derivácií jednotlivých členov: = 3 · 5 · x4 − 2 · x1 + 6 · 1
  4. Výsledok: = 15x4 − 2x + 6
Výsledná derivácia: f′(x) = 15x4 − 2x + 6
Príklad 5mnohočlen
h(x) = −2x5 + 4x3 − x + 7
Derivujeme člen po člene:
  • (−2x5)′ = −10x4
  • (4x3)′ = 12x2
  • (−x)′ = −1
  • (7)′ = 0
Výsledná derivácia: h′(x) = −10x4 + 12x2 − 1
Príklad 6mnohočlen
k(x) = 5x4 − 3x3 + 2x2 − 4x + 9
Derivujeme člen po člene:
  • (5x4)′ = 20x3
  • (−3x3)′ = −9x2
  • (2x2)′ = 4x
  • (−4x)′ = −4
  • (9)′ = 0
Výsledná derivácia: k′(x) = 20x3 − 9x2 + 4x − 4
Príklad 7mnohočlen
s(x) = −4x4 + 6x3 − x2 + 8x − 2
Derivujeme člen po člene:
  • (−4x4)′ = −16x3
  • (6x3)′ = 18x2
  • (−x2)′ = −2x
  • (8x)′ = 8
  • (−2)′ = 0
Výsledná derivácia: s′(x) = −16x3 + 18x2 − 2x + 8
Príklad 8mnohočlen
t(x) = 7x3 − 2x2 + 5x − 11
Derivujeme člen po člene:
  • (7x3)′ = 21x2
  • (−2x2)′ = −4x
  • (5x)′ = 5
  • (−11)′ = 0
Výsledná derivácia: t′(x) = 21x2 − 4x + 5

Ďalšie mnohočleny

Príklad 9mnohočlen
m(x) = 2x6 − 5x4 + 7x2 − 3
Derivujeme člen po člene:
  • (2x6)′ = 12x5
  • (−5x4)′ = −20x3
  • (7x2)′ = 14x
  • (−3)′ = 0
Výsledná derivácia: m′(x) = 12x5 − 20x3 + 14x
Príklad 10mnohočlen
n(x) = 3x5 − 4x3 + 6x − 2
Derivujeme každý člen:
  • (3x5)′ = 15x4
  • (−4x3)′ = −12x2
  • (6x)′ = 6
  • (−2)′ = 0
Výsledná derivácia: n′(x) = 15x4 − 12x2 + 6
Príklad 11mnohočlen
r(x) = −4x7 + 3x5 − 8x3 + 6x − 9
Derivujeme každý člen:
  • (−4x7)′ = −28x6
  • (3x5)′ = 15x4
  • (−8x3)′ = −24x2
  • (6x)′ = 6
  • (−9)′ = 0
Výsledná derivácia: r′(x) = −28x6 + 15x4 − 24x2 + 6

Precvičte si — 10 príkladov (od jednoduchých po zložité)

Najprv derivujte sami, potom odkryte riešenie.

🟢 Ľahké

Cvičenie 1Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = 6x3.
💡 Najprv si uvedomte: Konštantu 6 opíšeme, x3 derivujeme.
Postup:
  1. (6x3)′ = 6 · 3x2
Výsledok: f′(x) = 18x2
Cvičenie 2Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = x7 − 2x.
💡 Najprv si uvedomte: Člen po člene: (xn)′ = n·xn−1, (2x)′ = 2.
Postup:
  1. (x7)′ = 7x6
  2. (−2x)′ = −2
Výsledok: f′(x) = 7x6 − 2
Cvičenie 3Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = 4x2 + 3x − 9.
💡 Najprv si uvedomte: Konštanta −9 má deriváciu 0.
Postup:
  1. (4x2)′ = 8x
  2. (3x)′ = 3
  3. (−9)′ = 0
Výsledok: f′(x) = 8x + 3
Cvičenie 4Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = −x4 + 5x2 − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Znamienko pred členom zostáva.
Postup:
  1. (−x4)′ = −4x3
  2. (5x2)′ = 10x
  3. (−1)′ = 0
Výsledok: f′(x) = −4x3 + 10x

🔵 Stredné

Cvičenie 5Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = 2x6 − 3x5 + x.
💡 Najprv si uvedomte: Pozor: (x)′ = 1.
Postup:
  1. (2x6)′ = 12x5
  2. (−3x5)′ = −15x4
  3. (x)′ = 1
Výsledok: f′(x) = 12x5 − 15x4 + 1
Cvičenie 6Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = 12x4 − 13x3 + 2x.
💡 Najprv si uvedomte: Zlomok pred x je len konštanta — vynásobíme ho exponentom.
Postup:
  1. (12x4)′ = 12 · 4x3 = 2x3
  2. (−13x3)′ = −13 · 3x2 = −x2
  3. (2x)′ = 2
Výsledok: f′(x) = 2x3 − x2 + 2
Cvičenie 7Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = 0,5x2 − 1,2x + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Desatinné čísla derivujeme rovnako ako celé.
Postup:
  1. (0,5x2)′ = 0,5 · 2x = x
  2. (−1,2x)′ = −1,2
  3. (4)′ = 0
Výsledok: f′(x) = x − 1,2

🔴 Náročné

Cvičenie 8Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = x3 · (x + 2).
💡 Najprv si uvedomte: Najprv roznásobíme — vznikne mnohočlen.
Postup:
  1. x3 · (x + 2) = x4 + 2x3
  2. (x4)′ = 4x3,  (2x3)′ = 6x2
Výsledok: f′(x) = 4x3 + 6x2
Cvičenie 9Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = (2x − 1)2.
💡 Najprv si uvedomte: Druhú mocninu rozpíšeme: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Postup:
  1. (2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1
  2. (4x2)′ = 8x,  (−4x)′ = −4,  (1)′ = 0
Výsledok: f′(x) = 8x − 4
Cvičenie 10Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = x3 − 3x2 + 2;  vypočítajte f′(2).
💡 Najprv si uvedomte: Najprv derivácia, potom dosadíme x = 2.
Postup:
  1. f′(x) = 3x2 − 6x
  2. f′(2) = 3 · 22 − 6 · 2 = 12 − 12 = 0
  3. f′(2) = 0 → dotyčnica v bode x = 2 je vodorovná
Výsledok: f′(x) = 3x2 − 6x,  f′(2) = 0
Blok 1 / 2Derivácia — pravidlá, mnohočleny, exponenciálne a logaritmické funkcie⏱ 120 min

5. Odmocnina, exponenciálna funkcia a logaritmus

📌 Odmocninu najprv prepíšeme na mocninu: √x = x1/2,  ∛x4 = x4/3,  √x3 = x3/2 — potom platí (xn)′ = n · xn−1.
Príklad 12príklad b) — odmocnina, ax, ln x
f(x) = ∛x4 + 5x − ln x
Postup riešenia:
  1. Úprava pred derivovaním: odmocninu prepíšeme na mocninu, aby sme ju mohli derivovať podľa pravidla (xn)′: f′(x) = (x4/3 + 5x − ln x)′
  2. Derivovanie jednotlivých členov — použijú sa tri základné pravidlá: (xn)′ = n · xn−1;  (ax)′ = ax · ln a;  (ln x)′ = 1/x
  3. Výpočet: = 43x4/3 − 1 + 5x · ln 5 − 1x = 43x1/3 + 5x · ln 5 − 1x
📝 Pomocné vzorce: pri člene 5x → [ax]′ = ax ln a · pri člene ln x → (ln x)′ = 1/x
Výsledná derivácia: f′(x) = 43∛x + 5x · ln 5 − 1x

Exponenciálna funkcia so zloženým exponentom

(ax)′ = ax · ln a   ·   (au(x))′ = au(x) · ln a · u′(x),  a > 0, a ≠ 1
Príklad 13au(x)
f(x) = 45x
Postup riešenia:
  1. Krok 1 — aplikácia vzorca: f′(x) = 45x · ln(4) · (5x)′
  2. Krok 2 — derivovanie exponentu: (5x)′ = 5 → f′(x) = 45x · ln(4) · 5
Výsledná derivácia: f′(x) = 5 · 45x · ln(4)
Príklad 14au(x)
g(x) = 2−3x
Postup riešenia:
  1. vnútorný exponent u(x) = −3x → u′(x) = −3
  2. g′(x) = 2−3x · ln(2) · (−3)
Výsledná derivácia: g′(x) = −3 · 2−3x · ln(2)
Príklad 15au(x)
f(x) = 3−2x + 4
Postup riešenia:
  1. Pravidlo pre deriváciu au(x): (au(x))′ = au(x) · ln(a) · u′(x), a > 0, a ≠ 1
  2. Identifikácia vnútorného exponentu: u(x) = −2x + 4 ⇒ u′(x) = −2
  3. Aplikácia pravidla na f(x) = 3u(x): f′(x) = 3u(x) · ln(3) · u′(x) = 3−2x+4 · ln(3) · (−2)
  4. Úprava tvaru výsledku (kompaktný tvar)
Výsledná derivácia: f′(x) = −2 ln(3) · 3−2x + 4
Príklad 16odmocnina, 2x, ln x
f(x) = √x3 + 2x − 3 ln x
Postup riešenia:
  1. Rozdelenie na jednotlivé členy a úprava: najskôr prepíšeme odmocninu na mocninu: f′(x) = (x3/2 + 2x − 3 ln x)′ = (x3/2)′ + (2x)′ − (3 ln x)′
  2. Aplikácia pravidiel: mocnina (xn)′ = n · xn−1; exponenciálna (ax)′ = ax ln a; logaritmus (ln x)′ = 1/x → = 32x3/2 − 1 + 2x · ln 2 − 3 · 1x
  3. Dopočítanie a zjednodušenie exponentu: 3/2 − 1 = 1/2 → = 32x1/2 + 2x ln 2 − 3x
  4. Výsledok (prepis mocniny na odmocninu): = 32√x + 2x ln 2 − 3x
🔎 Vysvetlenie
  1. Derivácia √x3:
    • prepíšeme na x3/2; exponent 3/2 prešiel dopredu a hore sme odrátali 1, čím vznikol exponent 1/2; nakoniec sme x1/2 prepísali naspäť ako √x
  2. Derivácia 2x:
    • derivácia akejkoľvek konštanty a na mocninu x je vždy daná vzťahom ax · ln a, preto pre 2x použijeme 2x ln 2
  3. Derivácia −3 ln x:
    • konštanta −3 ostáva a derivácia ln x je 1/x
Výsledná derivácia: f′(x) = 32√x + 2x ln 2 − 3x

Derivácia funkcie s logaritmom

Príklad 17ln u(x)
p(x) = ln(5x2 + 3)
Postup riešenia:
  1. Pravidlo pre deriváciu logaritmu: (ln(u(x)))′ = u′(x)u(x)
  2. Identifikácia vnútorného výrazu: u(x) = 5x2 + 3 ⇒ u′(x) = 10x
  3. Dosadenie do pravidla: p′(x) = 10x5x2 + 3
Výsledná derivácia: p′(x) = 10x5x2 + 3

Precvičte si — 10 príkladov (od jednoduchých po zložité)

Najprv derivujte sami, potom odkryte riešenie.

🟢 Ľahké

Cvičenie 1Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = ex + x2.
💡 Najprv si uvedomte: ex sa derivovaním nemení.
Postup:
  1. (ex)′ = ex
  2. (x2)′ = 2x
Výsledok: f′(x) = ex + 2x
Cvičenie 2Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = 7x.
💡 Najprv si uvedomte: (ax)′ = ax · ln a.
Postup:
  1. (7x)′ = 7x · ln 7
Výsledok: f′(x) = 7x · ln 7
Cvičenie 3Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = 4 ln x − 3x.
💡 Najprv si uvedomte: (ln x)′ = 1/x, konštantu 4 opíšeme.
Postup:
  1. (4 ln x)′ = 4 · 1x = 4x
  2. (−3x)′ = −3
Výsledok: f′(x) = 4x − 3
Cvičenie 4Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = ∛x.
💡 Najprv si uvedomte: Odmocninu prepíšeme na mocninu x1/3.
Postup:
  1. ∛x = x1/3
  2. (x1/3)′ = 13x1/3 − 1 = 13x−2/3
Výsledok: f′(x) = 13∛x2

🔵 Stredné

Cvičenie 5Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = 32x.
💡 Najprv si uvedomte: (au)′ = au · ln a · u′, kde u = 2x.
Postup:
  1. u(x) = 2x → u′(x) = 2
  2. f′(x) = 32x · ln 3 · 2
Výsledok: f′(x) = 2 · 32x · ln 3
Cvičenie 6Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = e−5x.
💡 Najprv si uvedomte: (eu)′ = eu · u′.
Postup:
  1. u(x) = −5x → u′(x) = −5
  2. f′(x) = e−5x · (−5)
Výsledok: f′(x) = −5e−5x
Cvičenie 7Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = ln(3x + 1).
💡 Najprv si uvedomte: (ln u)′ = u′/u.
Postup:
  1. u(x) = 3x + 1 → u′(x) = 3
Výsledok: f′(x) = 33x + 1

🔴 Náročné

Cvičenie 8Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = 2x2.
💡 Najprv si uvedomte: Zložený exponent u = x² → u′ = 2x.
Postup:
  1. u(x) = x2 → u′(x) = 2x
  2. f′(x) = 2x2 · ln 2 · 2x
Výsledok: f′(x) = 2x · 2x2 · ln 2
Cvičenie 9Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = ln(x2 − 4x).
💡 Najprv si uvedomte: (ln u)′ = u′/u; vnútro derivujeme člen po člene.
Postup:
  1. u(x) = x2 − 4x → u′(x) = 2x − 4
Výsledok: f′(x) = 2x − 4x2 − 4x
Cvičenie 10Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = √x5 + 10x − 2 ln x.
💡 Najprv si uvedomte: Tri typy členov: odmocnina (x5/2), ax a ln x.
Postup:
  1. √x5 = x5/2 → (x5/2)′ = 52x3/2 = 52x√x
  2. (10x)′ = 10x · ln 10
  3. (−2 ln x)′ = −2x
Výsledok: f′(x) = 52x√x + 10x · ln 10 − 2x
Blok 2 / 2Derivácia — goniometrické funkcie, súčin, podiel, reťazové pravidlo⏱ 120 min

1. Goniometrické funkcie — derivácia člen po člene

FunkciaDeriváciaSo zloženým argumentom (reťazové pravidlo)
sin xcos x(sin(kx))′ = cos(kx) · k
cos x−sin x(cos(kx))′ = −sin(kx) · k
Príklad 1sin, cos
r(x) = 5 sin(2x) − 3 cos(x)
Derivujeme člen po člene:
  • (5 sin(2x))′ = 5 · cos(2x) · 2 = 10 cos(2x)
  • (−3 cos(x))′ = −3 · (−sin(x)) = 3 sin(x)
Výsledná derivácia: r′(x) = 10 cos(2x) + 3 sin(x)
Blok 2 / 2Derivácia — goniometrické funkcie, súčin, podiel, reťazové pravidlo⏱ 120 min

2. Pravidlo pre deriváciu súčinu

[f · g]′ = f′ · g + f · g′    ⇔    ddx[u(x) · v(x)] = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
Príklad 2úloha (c) — súčin
f(x) = (x3 − x + 1) · cos x
Postup riešenia:
  1. Krok 1 — aplikácia pravidla súčinu: f′(x) = [(x3 − x + 1) · cos x]′ = (x3 − x + 1)′ · cos x + (x3 − x + 1) · (cos x)′
  2. Krok 2 — vypočítanie derivácií jednotlivých častí: derivácia prvej časti (x3 − x + 1)′ = 3x2 − 1; derivácia druhej časti (cos x)′ = −sin x
  3. Krok 3 — dosadenie do vzťahu: = (3x2 − 1) · cos x + (x3 − x + 1) · (−sin x)
  4. Krok 4 — finálny výsledok
Výsledná derivácia: f′(x) = (3x2 − 1) cos x − sin x · (x3 − x + 1)
Príklad 3súčin
g(x) = (x2 + 2x − 5) · sin x
Krok 1: Označíme si členy
  • u(x) = x2 + 2x − 5,   v(x) = sin x
Krok 2: Derivujeme každý člen
  • u′(x) = 2x + 2
  • v′(x) = cos x
Krok 3: Dosadíme do pravidla u′v + uv′
  • g′(x) = (2x + 2) · sin x + (x2 + 2x − 5) · cos x
Výsledná derivácia: g′(x) = (2x + 2) sin x + (x2 + 2x − 5) cos x
Príklad 4súčin
f(x) = (x2 − 2x + 4) · sin x
Krok 1: Označíme si členy
  • u(x) = x2 − 2x + 4,   v(x) = sin x
Krok 2: Derivujeme každý člen
  • u′(x) = 2x − 2
  • v′(x) = cos x
Krok 3: Dosadíme do pravidla u′v + uv′
  • f′(x) = (2x − 2) · sin x + (x2 − 2x + 4) · cos x
Výsledná derivácia: f′(x) = (2x − 2) sin x + (x2 − 2x + 4) cos x
Príklad 5súčin
h(x) = (x3 − 2x) · sin(2x)
Krok 1: Označíme si členy
  • u(x) = x3 − 2x,   v(x) = sin(2x)
Krok 2: Derivujeme každý člen
  • u′(x) = 3x2 − 2
  • v′(x) = cos(2x) · 2 = 2 cos(2x)
Krok 3: Dosadíme do pravidla u′v + uv′
  • h′(x) = (3x2 − 2) · sin(2x) + (x3 − 2x) · 2 cos(2x)
Výsledná derivácia: h′(x) = (3x2 − 2) sin(2x) + 2(x3 − 2x) cos(2x)
Blok 2 / 2Derivácia — goniometrické funkcie, súčin, podiel, reťazové pravidlo⏱ 120 min

3. Derivácia podielu funkcií

(u(x)v(x))′ = u′(x) · v(x) − u(x) · v′(x)[v(x)]2    ⇔    (uv)′ = u′v − uv′v2
Príklad 6podiel
p(x) = x2 + 1sin x
Krok 1: Označíme si členy
  • u(x) = x2 + 1,   v(x) = sin x
Krok 2: Derivujeme každý člen
  • u′(x) = 2x
  • v′(x) = cos x
Krok 3: Dosadíme do pravidla (u′v − uv′)/v²
  • p′(x) = (2x) · sin x − (x2 + 1) · cos x(sin x)2
Výsledná derivácia: p′(x) = 2x sin x − (x2 + 1) cos xsin2x
Príklad 7podiel
m(x) = x3 − 1cos x
Krok 1: Označíme si členy
  • u(x) = x3 − 1,   v(x) = cos x
Krok 2: Derivujeme každý člen
  • u′(x) = 3x2
  • v′(x) = −sin x
Krok 3: Dosadíme do pravidla (u′v − uv′)/v²
  • m′(x) = (3x2) · cos x − (x3 − 1) · (−sin x)(cos x)2
Výsledná derivácia: m′(x) = 3x2 cos x + (x3 − 1) sin xcos2x
⚠ Tu je kľúčové: mínus krát mínus sa zmení na plus — −(x3 − 1) · (−sin x) = +(x3 − 1) sin x.
Príklad 8podiel
q(x) = x2 + 3sin x
Krok 1: Označíme si členy
  • u(x) = x2 + 3,   v(x) = sin x
Krok 2: Derivujeme každý člen
  • u′(x) = 2x
  • v′(x) = cos x
Krok 3: Dosadíme do pravidla (u′v − uv′)/v²
  • q′(x) = (2x) sin x − (x2 + 3) cos x(sin x)2
Výsledná derivácia: q′(x) = 2x sin x − (x2 + 3) cos xsin2x
Blok 2 / 2Derivácia — goniometrické funkcie, súčin, podiel, reťazové pravidlo⏱ 120 min

4. Goniometrické funkcie so zloženým argumentom

📌 Pri sin(kx) a cos(kx) násobíme deriváciou vnútra: (kx)′ = k. Pozor na znamienko pri kosínuse: (cos)′ = −sin.
Príklad 9sin(kx), cos(kx)
f(x) = 4 cos(3x) + 2 sin(x)
Derivujeme člen po člene:
  • (4 cos(3x))′ = 4 · (−sin(3x)) · 3 = −12 sin(3x)
  • (2 sin(x))′ = 2 · cos(x) = 2 cos(x)
Výsledná derivácia: f′(x) = −12 sin(3x) + 2 cos(x)
Príklad 10sin(kx), cos(kx)
g(x) = 6 sin(4x) − 5 cos(2x)
Derivujeme člen po člene:
  • (6 sin(4x))′ = 6 · cos(4x) · 4 = 24 cos(4x)
  • (−5 cos(2x))′ = −5 · (−sin(2x)) · 2 = 10 sin(2x)
Výsledná derivácia: g′(x) = 24 cos(4x) + 10 sin(2x)
Príklad 11sin(kx), cos(kx)
h(x) = 3 cos(5x) − 7 sin(2x)
Derivujeme člen po člene:
  • (3 cos(5x))′ = 3 · (−sin(5x)) · 5 = −15 sin(5x)
  • (−7 sin(2x))′ = −7 · cos(2x) · 2 = −14 cos(2x)
Výsledná derivácia: h′(x) = −15 sin(5x) − 14 cos(2x)
Príklad 12sin(kx), cos(kx)
j(x) = 8 sin(3x) + 4 cos(5x)
Derivujeme člen po člene:
  • (8 sin(3x))′ = 8 · cos(3x) · 3 = 24 cos(3x)
  • (4 cos(5x))′ = 4 · (−sin(5x)) · 5 = −20 sin(5x)
Výsledná derivácia: j′(x) = 24 cos(3x) − 20 sin(5x)
Blok 2 / 2Derivácia — goniometrické funkcie, súčin, podiel, reťazové pravidlo⏱ 120 min

5. Mocniny goniometrických funkcií — reťazové pravidlo

[g(x)n]′ = n · g(x)n−1 · g′(x)napr. [(sin x)3]′ = 3 (sin x)2 · cos x
Príklad 13(sin x)n, (cos x)n
f(x) = 3(sin x)3 − 2(cos x)2
Postup riešenia:
  1. Použijeme reťazové pravidlo pre mocniny: [g(x)n]′ = n · g(x)n−1 · g′(x)
  2. Derivácia prvého člena 3(sin x)3: n = 3, g(x) = sin x, g′(x) = cos x → [3(sin x)3]′ = 3 · 3 · (sin x)2 · cos x = 9 sin2x · cos x
  3. Derivácia druhého člena 2(cos x)2: n = 2, g(x) = cos x, g′(x) = −sin x → [2(cos x)2]′ = 2 · 2 · cos x · (−sin x) = −4 cos x sin x
  4. Finálny výsledok — spojíme oba zderivované členy: f′(x) = 9 sin2x cos x − (−4 cos x sin x)
Výsledná derivácia: f′(x) = 9 sin2x cos x + 4 sin x cos x
Príklad 14(sin x)n, (cos x)n
f(x) = 2(sin x)2 + 5(cos x)3
Postup riešenia:
  1. Derivácia 2(sin x)2: u(x) = sin x, u′(x) = cos x → 2 · 2 sin x · cos x = 4 sin x cos x
  2. Derivácia 5(cos x)3: u(x) = cos x, u′(x) = −sin x → 5 · 3cos2x · (−sin x) = −15 cos2x sin x
Výsledná derivácia: f′(x) = 4 sin x cos x − 15 cos2x sin x
Príklad 15(sin x)n, (cos x)n
f(x) = 4(sin x)2 − 6(cos x)3
Postup riešenia:
  1. Derivácia 4(sin x)2: u(x) = sin x, u′(x) = cos x → 4 · 2 sin x · cos x = 8 sin x cos x
  2. Derivácia −6(cos x)3: u(x) = cos x, u′(x) = −sin x → −6 · 3cos2x · (−sin x) = 18 cos2x sin x
Výsledná derivácia: f′(x) = 8 sin x cos x + 18 cos2x sin x
Príklad 16(sin x)n, (cos x)n
u(x) = 2(sin x)4 + 3(cos x)2
Postup riešenia:
  1. Derivácia 2(sin x)4: u(x) = sin x, u′(x) = cos x → 2 · 4(sin x)3 · cos x = 8(sin x)3 cos x
  2. Derivácia 3(cos x)2: u(x) = cos x, u′(x) = −sin x → 3 · 2(cos x) · (−sin x) = −6 cos x sin x
Výsledná derivácia: u′(x) = 8(sin x)3 cos x − 6 cos x sin x
Príklad 17(sin x)n, (cos x)n
v(x) = 5(sin x)2 − 4(cos x)4
Postup riešenia:
  1. Derivácia 5(sin x)2: u(x) = sin x, u′(x) = cos x → 5 · 2 sin x · cos x = 10 sin x cos x
  2. Derivácia −4(cos x)4: u(x) = cos x, u′(x) = −sin x → −4 · 4(cos x)3 · (−sin x) = 16(cos x)3 sin x
Výsledná derivácia: v′(x) = 10 sin x cos x + 16(cos x)3 sin x

20 príkladov na precvičenie — od jednoduchých po zložité

Najprv derivujte sami, potom odkryte riešenie. Príklady 1 – 13 patria k Bloku 1 (okrem sin, cos v príklade 11), príklady 14 – 20 k Bloku 2.

🟢 Ľahké — mocniny a mnohočleny
Príklad 1Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = x4.
💡 Najprv si uvedomte: Pravidlo pre mocninu: exponent dopredu, hore o 1 menej.
Postup:
  1. (x4)′ = 4 · x4−1 = 4x3
Výsledok: f′(x) = 4x3
Príklad 2Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = 3x2 − 5x + 7.
💡 Najprv si uvedomte: Derivujeme člen po člene; konštanta 7 má deriváciu 0.
Postup:
  1. (3x2)′ = 3 · 2x = 6x
  2. (−5x)′ = −5
  3. (7)′ = 0
Výsledok: f′(x) = 6x − 5
Príklad 3Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = 2x5 − x3 + 4x.
💡 Najprv si uvedomte: Každý člen zvlášť podľa (xn)′ = n·xn−1.
Postup:
  1. (2x5)′ = 10x4
  2. (−x3)′ = −3x2
  3. (4x)′ = 4
Výsledok: f′(x) = 10x4 − 3x2 + 4
Príklad 4Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = 1x2.
💡 Najprv si uvedomte: Zlomok 1/x² prepíšeme na mocninu so záporným exponentom.
Postup:
  1. 1x2 = x−2
  2. (x−2)′ = −2 · x−3
  3. = −2x3
Výsledok: f′(x) = −2x3
Príklad 5Ľahký
Zderivujte funkciu f(x) = √x.
💡 Najprv si uvedomte: Odmocninu prepíšeme na mocninu x1/2.
Postup:
  1. √x = x1/2
  2. (x1/2)′ = 12x−1/2
  3. = 12√x
Výsledok: f′(x) = 12√x
🔵 Stredné — odmocniny, ex, ax, ln, sin, cos, reťazové pravidlo
Príklad 6Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = 4x3 − 6√x + 2x.
💡 Najprv si uvedomte: Tri rôzne typy členov: mocnina, odmocnina (x1/2) a zlomok (2x−1).
Postup:
  1. (4x3)′ = 12x2
  2. (−6x1/2)′ = −6 · 12x−1/2 = −3√x
  3. (2x−1)′ = −2x−2 = −2x2
Výsledok: f′(x) = 12x2 − 3√x − 2x2
Príklad 7Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = ex + 3 ln x.
💡 Najprv si uvedomte: ex sa derivovaním nemení; (ln x)′ = 1/x.
Postup:
  1. (ex)′ = ex
  2. (3 ln x)′ = 3 · 1x = 3x
Výsledok: f′(x) = ex + 3x
Príklad 8Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = 2 · 3x − 5.
💡 Najprv si uvedomte: (ax)′ = ax · ln a; konštantu 2 opíšeme.
Postup:
  1. (2 · 3x)′ = 2 · 3x · ln 3
  2. (−5)′ = 0
Výsledok: f′(x) = 2 · 3x · ln 3
Príklad 9Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = e4x.
💡 Najprv si uvedomte: Zložená funkcia: eu · u′, kde u = 4x.
Postup:
  1. u(x) = 4x → u′(x) = 4
  2. (e4x)′ = e4x · 4
Výsledok: f′(x) = 4e4x
Príklad 10Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = ln(x2 + 1).
💡 Najprv si uvedomte: (ln u)′ = u′/u.
Postup:
  1. u(x) = x2 + 1 → u′(x) = 2x
  2. f′(x) = 2xx2 + 1
Výsledok: f′(x) = 2xx2 + 1
Príklad 11Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = sin(3x) + cos(2x).
💡 Najprv si uvedomte: Pri sin(kx), cos(kx) násobíme číslom k; (cos)′ = −sin.
Postup:
  1. (sin(3x))′ = cos(3x) · 3 = 3 cos(3x)
  2. (cos(2x))′ = −sin(2x) · 2 = −2 sin(2x)
Výsledok: f′(x) = 3 cos(3x) − 2 sin(2x)
Príklad 12Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = (2x + 1)5.
💡 Najprv si uvedomte: Reťazové pravidlo: n · (vnútro)n−1 · (vnútro)′.
Postup:
  1. vonkajšia: (□5)′ = 5□4, vnútorná: (2x + 1)′ = 2
  2. f′(x) = 5(2x + 1)4 · 2
Výsledok: f′(x) = 10(2x + 1)4
Príklad 13Stredný
Zderivujte funkciu f(x) = √x2 + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Odmocnina zo zloženej funkcie: (√u)′ = u′/(2√u).
Postup:
  1. u(x) = x2 + 4 → u′(x) = 2x
  2. f′(x) = 2x2√x2 + 4
Výsledok: f′(x) = x√x2 + 4
🔴 Náročné — súčin, podiel, viacnásobné reťazové pravidlo
Príklad 14Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = x2 · ex.
💡 Najprv si uvedomte: Súčin: (uv)′ = u′v + uv′.
Postup:
  1. u = x2, u′ = 2x; v = ex, v′ = ex
  2. f′(x) = 2x · ex + x2 · ex
Výsledok: f′(x) = ex(x2 + 2x)
Príklad 15Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = x3 · ln x.
💡 Najprv si uvedomte: Súčin; (ln x)′ = 1/x.
Postup:
  1. u = x3, u′ = 3x2; v = ln x, v′ = 1/x
  2. f′(x) = 3x2 · ln x + x3 · 1x = 3x2 ln x + x2
Výsledok: f′(x) = x2(3 ln x + 1)
Príklad 16Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = (x2 − 1) · cos x.
💡 Najprv si uvedomte: Súčin; pozor na (cos x)′ = −sin x.
Postup:
  1. u = x2 − 1, u′ = 2x; v = cos x, v′ = −sin x
  2. f′(x) = 2x · cos x + (x2 − 1) · (−sin x)
Výsledok: f′(x) = 2x cos x − (x2 − 1) sin x
Príklad 17Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = x + 1x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Podiel: (u′v − uv′)/v².
Postup:
  1. u = x + 1, u′ = 1; v = x − 1, v′ = 1
  2. f′(x) = 1 · (x − 1) − (x + 1) · 1(x − 1)2 = x − 1 − x − 1(x − 1)2
Výsledok: f′(x) = −2(x − 1)2
Príklad 18Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = x2x + 2.
💡 Najprv si uvedomte: Podiel; v čitateli roznásobte a zjednodušte.
Postup:
  1. u = x2, u′ = 2x; v = x + 2, v′ = 1
  2. f′(x) = 2x(x + 2) − x2 · 1(x + 2)2 = 2x2 + 4x − x2(x + 2)2
Výsledok: f′(x) = x2 + 4x(x + 2)2
Príklad 19Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = exx2 + 1.
💡 Najprv si uvedomte: Podiel; v čitateli vytknite ex.
Postup:
  1. u = ex, u′ = ex; v = x2 + 1, v′ = 2x
  2. f′(x) = ex(x2 + 1) − ex · 2x(x2 + 1)2 = ex(x2 − 2x + 1)(x2 + 1)2
Výsledok: f′(x) = ex(x − 1)2(x2 + 1)2
Príklad 20Náročný
Zderivujte funkciu f(x) = (sin(3x))2.
💡 Najprv si uvedomte: Dvojité reťazové pravidlo: mocnina → sínus → vnútro 3x.
Postup:
  1. vonkajšia: (□2)′ = 2□ → 2 sin(3x)
  2. stredná: (sin(3x))′ = cos(3x) · 3
  3. f′(x) = 2 sin(3x) · cos(3x) · 3
Výsledok: f′(x) = 6 sin(3x) cos(3x)

Záverečný test

20 otázok, každá za 1 bod. Časť A: rozhodni, či je výrok pravdivý. Časť B: vyber jednu správnu odpoveď. Po vyhodnotení sa zobrazí vysvetlenie.

Po zvolení odpovede hneď uvidíš, či je správna, aj vysvetlenie. Odpoveď sa potom už nedá zmeniť.