120:00
PREDNÁŠKA · MATEMATIKA 4 · 2 BLOKY

Lineárne a kvadratické rovnice · Definičný obor na číselnej osi

Blok 1: A — lineárna rovnica, B — kvadratická rovnica · Blok 2: podmienky definičného oboru, plný a prázdny krúžok · VSTE

⏱ 2 × 120 min📏 Číselná os📐 78 príkladov + 50 rovníc na precvičenie📝 Test 10 otázok — jedno hodnotenie📧 Odoslanie testu v PDF🎓 Klasifikácia A–FX

Plán prednášky

Blok 1 / 2Výpočet lineárnej a kvadratickej rovnice⏱ 120 min
1Vzorce na zapamätanie10 min⌄
  • ax + b = 0, x = −b/a; ax² + bx + c = 0; D = b² − 4ac
2A. Lineárna rovnica — výpočet30 min⌄
  • Ekvivalentné úpravy, prenos so zmenou znamienka, skúška
  • Rovnice so zátvorkami a zlomkami, rovnica bez riešenia
  • 5 podobných rovníc s riešením na číselnej osi
3B. Kvadratická rovnica — výpočet30 min⌄
  • Koeficienty a, b, c, diskriminant, vzorec pre korene
  • x² − 5x + 6 = 0 krok za krokom + 5 podobných
  • D = 0 a D < 0
4Príklady (31)40 min⌄
  • Lineárne a kvadratické rovnice z prezentácií a cvičenia
5Test — časť 110 min⌄
  • 5 otázok k rovniciam
Blok 2 / 2Definičný obor na číselnej osi⏱ 120 min
1Čo je definičný obor a podmienky15 min⌄
  • Zlomok: menovateľ ≠ 0 · odmocnina: ≥ 0 · logaritmus: > 0 — a prečo
2Ako sa ráta — postup a riešenie podmienok20 min⌄
  • Lineárna podmienka, podmienka ≠, podmienka s x² (nulové body, testovanie), zlomok > 0 (tabuľka znamienok)
3Zakreslenie na číselnú os15 min⌄
  • ● plný krúžok pri ≥, ≤ · ○ prázdny pri >, <, ≠ · riešené príklady a cvičenia
4Príklady (47)45 min⌄
  • Určte D(f) a zakreslite ho na číselnú os
5Test — časť 2 + odoslanie v PDF15 min⌄
  • 5 otázok k definičnému oboru, jedno hodnotenie A–FX za celý test
🎯 Blok 1Študent vie vypočítať lineárnu rovnicu (aj so zátvorkami a zlomkami) a kvadratickú rovnicu pomocou diskriminantu.
🎯 Blok 2Študent vie zo zadania funkcie zostaviť podmienky, vyriešiť ich a zakresliť definičný obor na číselnú os s plným a prázdnym krúžkom.

Klasifikácia

ZnámkaPercentoSlovné hodnotenie
A90 – 100 %Výborne
B80 – 89 %Veľmi dobre
C70 – 79 %Dobre
D60 – 69 %Uspokojivo
E50 – 59 %Dostatočne
FX0 – 49 %Nedostatočne
Blok 1 / 2Výpočet lineárnej a kvadratickej rovnice⏱ 120 min

A. Lineárna rovnica

1. Čo je lineárna rovnica

Lineárna rovnica
Rovnica, v ktorej sa neznáma x vyskytuje len v prvej mocnine (žiadne x², žiadne x v menovateli). Má tvar ax + b = cx + d. Po úprave dostaneme x = číslo — rovnica má jedno riešenie.

Vzorce na zapamätanie:

TypVzorecRiešenie / význam
Lineárna rovnicaax + b = 0koreň x = −b / a
Kvadratická rovnicaax² + bx + c = 0korene x1,2 = (−b ± √D) / (2a)
DiskriminantD = b² − 4acurčuje počet reálnych koreňov

2. Ako sa ráta lineárna rovnica — postup

📐 Ekvivalentné úpravy: k obom stranám rovnice môžeme pripočítať alebo odpočítať to isté číslo a obe strany môžeme vynásobiť alebo vydeliť tým istým nenulovým číslom — riešenie sa nezmení.
📋 Postup riešenia
  1. Ak sú v rovnici zátvorky, roznásobíme ich.
  2. Členy s x presunieme na ľavú stranu, čísla na pravú. Pri prenose cez znak = sa mení znamienko (+ na −, − na +).
  3. Obe strany zjednodušíme (sčítame).
  4. Obe strany vydelíme číslom pred x.
  5. Skúška: výsledok dosadíme do pôvodnej rovnice — ľavá strana sa musí rovnať pravej.

3. Výpočet krok za krokom

Riešený príklad 1: 3x − 5 = 2x + 4
  1. Prenesieme 2x doľava (mení sa na −2x) a −5 doprava (mení sa na +5): 3x − 2x = 4 + 5
  2. Zjednodušíme: x = 9
Koreň rovnice: x = 9  ·  Skúška: Ľ = 3 · 9 − 5 = 22, P = 2 · 9 + 4 = 22 ✓
Riešený príklad 2 — so zátvorkou: 2(4x − 1) = 3x + 5
  1. Roznásobíme zátvorku: 2 · 4x − 2 · 1 = 8x − 2 → 8x − 2 = 3x + 5
  2. Presunieme 3x doľava (−3x) a −2 doprava (+2): 8x − 3x = 5 + 2
  3. Zjednodušíme: 5x = 7
  4. Vydelíme 5: x = 75
Koreň: x = 7/5 · Skúška: Ľ = 2(4 · 7/5 − 1) = 2 · 23/5 = 46/5; P = 3 · 7/5 + 5 = 21/5 + 25/5 = 46/5 ✓

4. Rovnica so zlomkami

📋 Postup
  1. Nájdite najmenší spoločný násobok všetkých menovateľov.
  2. Vynásobte ním každý člen na oboch stranách — zlomky zmiznú.
  3. Roznásobte zátvorky, presuňte členy s x doľava a čísla doprava.
  4. Vydeľte číslom pred x a urobte skúšku.
Príklad: 2x − 34 + x + 52 = 3x − 16
  1. Menovatele 4, 2, 6 → spoločný násobok je 12. Vynásobíme celú rovnicu číslom 12.
  2. 12 : 4 = 3,  12 : 2 = 6,  12 : 6 = 2 → 3(2x − 3) + 6(x + 5) = 2(3x − 1)
  3. Roznásobíme: 6x − 9 + 6x + 30 = 6x − 2
  4. Spojíme členy: 12x + 21 = 6x − 2
  5. Odčítame 6x z oboch strán: 6x + 21 = −2
  6. Odčítame 21: 6x = −23
  7. Vydelíme 6: x = −236
Koreň: x = −23/6
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Prečo práve 12?
    • 12 je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 4, 2 aj 6
    • po vynásobení každý zlomok „vykráti“ svoj menovateľ a zostanú celé čísla
  2. Prečo musíme násobiť všetky členy?
    • rovnica je ako váhy v rovnováhe — ak jednu misku vynásobíme 12, musíme to isté urobiť aj s druhou
    • ak by sme vynásobili len ľavú stranu, rovnováha sa poruší a vyjde zlý výsledok
  3. Prečo zátvorky?
    • čitateľ 2x − 3 je jeden celok, preto násobíme celý: 3 · (2x − 3) = 6x − 9, nie 6x − 3

5. Koľko riešení môže mať lineárna rovnica

Po úprave dostanemePočet riešení
x = číslojedno riešenie
nepravdu, napr. −22 = 5žiadne riešenie, K = ∅
pravdu, napr. 0 = 0nekonečne veľa riešení, K = ℝ
Príklad: 5(x − 2) − 3(x + 4) = 2(x − 1) + 7
  1. Roznásobíme zátvorky: 5x − 10 − 3x − 12 = 2x − 2 + 7
  2. Spojíme členy: (5x − 3x) + (−10 − 12) = 2x + 5 → 2x − 22 = 2x + 5
  3. Odčítame 2x z oboch strán: −22 = 5 ❌
Tvrdenie −22 = 5 je nepravdivé pre každé x → rovnica nemá riešenie.
✅ Postup pre správne riešenie lineárnej rovnice
  1. Zlomky odstráňte vynásobením spoločným násobkom menovateľov.
  2. Zátvorky roznásobte — pozor na mínus pred zátvorkou: −3(x + 4) = −3x − 12.
  3. Pri prenose cez znak = meňte znamienko.
  4. Delíte číslom pred x; pri delení záporným číslom pozor na znamienko výsledku.
  5. Ak x zmizne: nepravda → žiadne riešenie, pravda → nekonečne veľa riešení.
  6. Vždy urobte skúšku dosadením do pôvodnej rovnice.

6. Príklady na precvičenie — 25 rovníc

Každú rovnicu najprv vyriešte sami podľa postupu z časti 2, potom odkryte riešenie. Riešenie (koreň) je zakreslené ako ● bod na číselnej osi.

Príklad 1Ľahký
Riešte rovnicu 4x − 3 = 2x + 7 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. x doľava, čísla doprava (pri prenose meníme znamienko): 4x − 2x = 7 + 3
  2. zjednodušíme: 2x = 10
  3. vydelíme 2: x = 10 : 2 = 5

zelená čiara = D = ℝ · ● plný krúžok = x = 5 je riešenie (patrí)

✓ Kontrola: Ľ = 4 · 5 − 3 = 17, P = 2 · 5 + 7 = 17 ✓
Výsledok: x = 5
Príklad 2Ľahký
Riešte rovnicu 5x + 2 = 3x + 10 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. x doľava, čísla doprava (pri prenose meníme znamienko): 5x − 3x = 10 − 2
  2. zjednodušíme: 2x = 8
  3. vydelíme 2: x = 8 : 2 = 4

zelená čiara = D = ℝ · ● plný krúžok = x = 4 je riešenie (patrí)

✓ Kontrola: Ľ = 5 · 4 + 2 = 22, P = 3 · 4 + 10 = 22 ✓
Výsledok: x = 4
Príklad 3Ľahký
Riešte rovnicu 7x − 8 = 3x + 4 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. x doľava, čísla doprava (pri prenose meníme znamienko): 7x − 3x = 4 + 8
  2. zjednodušíme: 4x = 12
  3. vydelíme 4: x = 12 : 4 = 3

zelená čiara = D = ℝ · ● plný krúžok = x = 3 je riešenie (patrí)

✓ Kontrola: Ľ = 7 · 3 − 8 = 13, P = 3 · 3 + 4 = 13 ✓
Výsledok: x = 3
Príklad 4Ľahký
Riešte rovnicu 2x + 9 = 5x − 3 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. x doľava, čísla doprava (pri prenose meníme znamienko): 2x − 5x = −3 − 9
  2. zjednodušíme: −3x = −12
  3. vydelíme −3: x = −12 : (−3) = 4

zelená čiara = D = ℝ · ● plný krúžok = x = 4 je riešenie (patrí)

✓ Kontrola: Ľ = 2 · 4 + 9 = 17, P = 5 · 4 − 3 = 17 ✓
Výsledok: x = 4
Príklad 5Ľahký
Riešte rovnicu x − 6 = 4x + 3 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. x doľava, čísla doprava (pri prenose meníme znamienko): x − 4x = 3 + 6
  2. zjednodušíme: −3x = 9
  3. vydelíme −3: x = 9 : (−3) = −3

zelená čiara = D = ℝ · ● plný krúžok = x = −3 je riešenie (patrí)

✓ Kontrola: Ľ = 1 · (−3) − 6 = −9, P = 4 · (−3) + 3 = −9 ✓
Výsledok: x = −3

Ďalších 20 príkladov — od jednoduchých po náročné

🟢 Ľahké

Príklad 6Ľahký
Riešte rovnicu x + 7 = 12.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo 7 je pripočítané — prenesieme ho na pravú stranu ako −7.
Riešenie:
  1. x = 12 − 7
  2. x = 5
✓ Kontrola: po dosadení x = 5: ľavá strana = 12, pravá strana = 12 ✓
Výsledok: x = 5,  K = {5}
Príklad 7Ľahký
Riešte rovnicu x − 3 = 8.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo 3 je odčítané — prenesieme ho ako +3.
Riešenie:
  1. x = 8 + 3
  2. x = 11
✓ Kontrola: po dosadení x = 11: ľavá strana = 8, pravá strana = 8 ✓
Výsledok: x = 11,  K = {11}
Príklad 8Ľahký
Riešte rovnicu 4x = 28.
💡 Najprv si uvedomte: 4x znamená 4 · x — obe strany vydelíme 4.
Riešenie:
  1. x = 28 : 4
  2. x = 7
✓ Kontrola: po dosadení x = 7: ľavá strana = 28, pravá strana = 28 ✓
Výsledok: x = 7,  K = {7}
Príklad 9Ľahký
Riešte rovnicu 3x + 2 = 14.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv odstránime +2, potom delíme 3.
Riešenie:
  1. 3x = 14 − 2
  2. 3x = 12
  3. x = 12 : 3 = 4
✓ Kontrola: po dosadení x = 4: ľavá strana = 14, pravá strana = 14 ✓
Výsledok: x = 4,  K = {4}
Príklad 10Ľahký
Riešte rovnicu 5x − 7 = 13.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv prenesieme −7 ako +7, potom delíme 5.
Riešenie:
  1. 5x = 13 + 7
  2. 5x = 20
  3. x = 20 : 5 = 4
✓ Kontrola: po dosadení x = 4: ľavá strana = 13, pravá strana = 13 ✓
Výsledok: x = 4,  K = {4}
Príklad 11Ľahký
Riešte rovnicu 2x + 9 = 1.
💡 Najprv si uvedomte: Výsledok môže byť aj záporný.
Riešenie:
  1. 2x = 1 − 9
  2. 2x = −8
  3. x = −8 : 2 = −4
✓ Kontrola: po dosadení x = −4: ľavá strana = 1, pravá strana = 1 ✓
Výsledok: x = −4,  K = {−4}
Príklad 12Ľahký
Riešte rovnicu 6x − 5 = 4x + 3.
💡 Najprv si uvedomte: x na obidvoch stranách: členy s x doľava, čísla doprava.
Riešenie:
  1. 6x − 4x = 3 + 5
  2. 2x = 8
  3. x = 8 : 2 = 4
✓ Kontrola: po dosadení x = 4: ľavá strana = 19, pravá strana = 19 ✓
Výsledok: x = 4,  K = {4}

🔵 Stredné

Príklad 13Stredný
Riešte rovnicu 9x + 4 = 5x − 8.
💡 Najprv si uvedomte: Pri prenose meníme znamienko: +4 → −4, 5x → −5x.
Riešenie:
  1. 9x − 5x = −8 − 4
  2. 4x = −12
  3. x = −12 : 4 = −3
✓ Kontrola: po dosadení x = −3: ľavá strana = −23, pravá strana = −23 ✓
Výsledok: x = −3,  K = {−3}
Príklad 14Stredný
Riešte rovnicu 3(x + 2) = 18.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv roznásobíme zátvorku: 3 · x + 3 · 2.
Riešenie:
  1. 3x + 6 = 18
  2. 3x = 18 − 6 = 12
  3. x = 12 : 3 = 4
✓ Kontrola: po dosadení x = 4: ľavá strana = 18, pravá strana = 18 ✓
Výsledok: x = 4,  K = {4}
Príklad 15Stredný
Riešte rovnicu 4(x − 1) = 2x + 6.
💡 Najprv si uvedomte: Roznásobíme: 4 · x − 4 · 1 = 4x − 4.
Riešenie:
  1. 4x − 4 = 2x + 6
  2. 4x − 2x = 6 + 4
  3. 2x = 10
  4. x = 5
✓ Kontrola: po dosadení x = 5: ľavá strana = 16, pravá strana = 16 ✓
Výsledok: x = 5,  K = {5}
Príklad 16Stredný
Riešte rovnicu 5(2x − 1) = 3(x + 4).
💡 Najprv si uvedomte: Roznásobíme obe zátvorky. Výsledok môže byť zlomok.
Riešenie:
  1. 10x − 5 = 3x + 12
  2. 10x − 3x = 12 + 5
  3. 7x = 17
  4. x = 177
✓ Kontrola: po dosadení x = 17/7: ľavá strana = 135/7, pravá strana = 135/7 ✓
Výsledok: x = 17/7,  K = {17/7}
Príklad 17Stredný
Riešte rovnicu 2(x + 3) − 4 = 3x − 5.
💡 Najprv si uvedomte: Po roznásobení zjednodušíme ľavú stranu: 2x + 6 − 4 = 2x + 2.
Riešenie:
  1. 2x + 6 − 4 = 3x − 5
  2. 2x + 2 = 3x − 5
  3. 2x − 3x = −5 − 2
  4. −x = −7
  5. x = 7
✓ Kontrola: po dosadení x = 7: ľavá strana = 16, pravá strana = 16 ✓
Výsledok: x = 7,  K = {7}
Príklad 18Stredný
Riešte rovnicu x3 + 2 = 5.
💡 Najprv si uvedomte: x je vydelené 3 — na konci obe strany vynásobíme 3.
Riešenie:
  1. x3 = 5 − 2 = 3
  2. x = 3 · 3 = 9
✓ Kontrola: po dosadení x = 9: ľavá strana = 5, pravá strana = 5 ✓
Výsledok: x = 9,  K = {9}
Príklad 19Stredný
Riešte rovnicu x + 12 = x − 23 + 1.
💡 Najprv si uvedomte: Spoločný násobok menovateľov 2 a 3 je 6 — vynásobíme ním každý člen.
Riešenie:
  1. · 6: 3(x + 1) = 2(x − 2) + 6
  2. 3x + 3 = 2x − 4 + 6
  3. 3x + 3 = 2x + 2
  4. 3x − 2x = 2 − 3
  5. x = −1
✓ Kontrola: po dosadení x = −1: ľavá strana = 0, pravá strana = 0 ✓
Výsledok: x = −1,  K = {−1}

🔴 Náročné

Príklad 20Náročný
Riešte rovnicu 3(x − 2) − 2(x + 1) = 4 − (x − 6).
💡 Najprv si uvedomte: Mínus pred zátvorkou mení znamienka všetkých členov v nej: −(x − 6) = −x + 6.
Riešenie:
  1. 3x − 6 − 2x − 2 = 4 − x + 6
  2. x − 8 = 10 − x
  3. x + x = 10 + 8
  4. 2x = 18
  5. x = 9
✓ Kontrola: po dosadení x = 9: ľavá strana = 1, pravá strana = 1 ✓
Výsledok: x = 9,  K = {9}
Príklad 21Náročný
Riešte rovnicu 2x − 13 − x + 24 = 1.
💡 Najprv si uvedomte: Spoločný násobok 3 a 4 je 12. Pozor na mínus pred druhým zlomkom.
Riešenie:
  1. · 12: 4(2x − 1) − 3(x + 2) = 12
  2. 8x − 4 − 3x − 6 = 12
  3. 5x − 10 = 12
  4. 5x = 22
  5. x = 225
✓ Kontrola: po dosadení x = 22/5: ľavá strana = 1, pravá strana = 1 ✓
Výsledok: x = 22/5,  K = {22/5}
Príklad 22Náročný
Riešte rovnicu x + 32 + x − 15 = 4.
💡 Najprv si uvedomte: Spoločný násobok 2 a 5 je 10.
Riešenie:
  1. · 10: 5(x + 3) + 2(x − 1) = 40
  2. 5x + 15 + 2x − 2 = 40
  3. 7x + 13 = 40
  4. 7x = 27
  5. x = 277
✓ Kontrola: po dosadení x = 27/7: ľavá strana = 4, pravá strana = 4 ✓
Výsledok: x = 27/7,  K = {27/7}
Príklad 23Náročný
Riešte rovnicu 0,5x + 1,2 = 0,3x + 2.
💡 Najprv si uvedomte: Desatinných čísel sa zbavíme vynásobením celej rovnice 10.
Riešenie:
  1. · 10: 5x + 12 = 3x + 20
  2. 5x − 3x = 20 − 12
  3. 2x = 8
  4. x = 4
✓ Kontrola: po dosadení x = 4: ľavá strana = 16/5, pravá strana = 16/5 ✓
Výsledok: x = 4,  K = {4}
Príklad 24Náročný
Riešte rovnicu (x − 1)² − x² = 7.
💡 Najprv si uvedomte: Vyzerá ako kvadratická, ale x² sa odčíta — po úprave je lineárna. (a − b)² = a² − 2ab + b².
Riešenie:
  1. x² − 2x + 1 − x² = 7
  2. −2x + 1 = 7
  3. −2x = 6
  4. x = 6 : (−2) = −3
✓ Kontrola: po dosadení x = −3: ľavá strana = 7, pravá strana = 7 ✓
Výsledok: x = −3,  K = {−3}
Príklad 25Náročný
Riešte rovnicu (x + 2)(x − 3) = x² + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Roznásobíme „každý s každým“; x² sa na oboch stranách odčíta.
Riešenie:
  1. x² − 3x + 2x − 6 = x² + 4
  2. x² − x − 6 = x² + 4
  3. −x − 6 = 4
  4. −x = 10
  5. x = −10
✓ Kontrola: po dosadení x = −10: ľavá strana = 104, pravá strana = 104 ✓
Výsledok: x = −10,  K = {−10}
Blok 1 / 2Výpočet lineárnej a kvadratickej rovnice⏱ 120 min

B. Kvadratická rovnica

1. Čo je kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica
Rovnica tvaru ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0. Neznáma x je v druhej mocnine, preto môže mať rovnica dve, jedno alebo žiadne reálne riešenie.

2. Ako sa ráta kvadratická rovnica — diskriminant a vzorec

Diskriminant D = b² − 4acPočet reálnych koreňovVýpočet
D > 02 rôzne korenex₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a)
D = 01 koreň (dvojnásobný)x = −b/(2a)
D < 0žiadny reálny koreňodmocnina zo záporného čísla v ℝ neexistuje
x1,2 = −b ± √D2a = −b ± √(b² − 4ac)2a
📋 Postup výpočtu
  1. Upravte rovnicu na tvar ax² + bx + c = 0 (všetko na ľavú stranu).
  2. Vypíšte a, b, c aj so znamienkami.
  3. Vypočítajte D = b² − 4ac (záporné čísla v zátvorkách).
  4. Podľa D rozhodnite o počte koreňov.
  5. Dosaďte do vzorca — raz so znamienkom +, raz s −.
  6. Urobte skúšku a zakreslite korene na číselnú os (● plné body).

3. Výpočet krok za krokom

1. Identifikujeme koeficienty (čísla pred x², pred x a samotné číslo):
  • a = 1,   b = −5,   c = 6
2. Vypočítame diskriminant:
  • D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1 → D > 0, budú 2 korene
3. Vzorec pre korene:
  • x1,2 = (−b ± √D) / (2a)
4. Dosadíme:
  • x1,2 = (−(−5) ± √1) / (2 · 1) = (5 ± 1) / 2
5. Vypočítame korene (raz +, raz −):
  • x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
  • x₂ = (5 − 1) / 2 = 2
Dva reálne korene: x₁ = 3, x₂ = 2

korene 2 a 3 na číselnej osi — ● plné body (sú riešením)

4. Keď D = 0 a keď D < 0

Keď D = 0: x² + 2x + 1 = 0
  1. a = 1, b = 2, c = 1
  2. D = 2² − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0
  3. √0 = 0 → „±“ nič nemení: x = (−2 ± 0) / 2 = −1
Jeden (dvojnásobný) koreň: x = −1 · Skúška: 1 − 2 + 1 = 0 ✓

Odmocnina zo záporného čísla v reálnych číslach neexistuje. Preto pri D < 0 rovnica nemá reálne riešenie. V komplexných číslach používame imaginárnu jednotku i, pre ktorú platí i² = −1, teda √−1 = i.

Príklad: 2x² + 4x + 6 = 0
  1. Vydelíme 2: x² + 2x + 3 = 0 → a = 1, b = 2, c = 3
  2. D = 2² − 4 · 1 · 3 = 4 − 12 = −8 → D < 0 → žiadne reálne riešenie
  3. Komplexné korene: x = −2 ± √−82 = −2 ± 2i√22 = −1 ± i√2
V ℝ: nemá riešenie · v komplexných číslach: x = −1 ± i√2
✅ Postup pre správne riešenie kvadratickej rovnice
  1. Upravte rovnicu na tvar ax² + bx + c = 0 (všetko na ľavú stranu).
  2. Ak sa dá, vydeľte celú rovnicu spoločným číslom — počíta sa ľahšie.
  3. Vypíšte a, b, c aj so znamienkami; záporné čísla dosadzujte do zátvoriek.
  4. Vypočítajte D = b² − 4ac a rozhodnite o počte koreňov.
  5. Korene: x1,2 = (−b ± √D) / (2a) — raz so znamienkom +, raz s −.
  6. Urobte skúšku dosadením oboch koreňov.

5. Príklady na precvičenie — 25 rovníc

Postupujte podľa časti 2: a, b, c → D → vzorec → skúška → korene na číselnú os.

📋 Podmienky definičného oboru a ich logiku nájdete v časti Lin. rovnice (tabuľka „Podmienky definičného oboru — čo platí a prečo“).
● plný krúžok = číslo patrí (koreň rovnice) · ○ prázdny krúžok = číslo nepatrí · zelená čiara = definičný obor. Bez zlomku a odmocniny je D = ℝ (celá priamka).
Príklad 1Ľahký
Riešte rovnicu x² − 7x + 12 = 0 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. a = 1, b = −7, c = 12
  2. D = (−7)² − 4 · 1 · 12 = 49 − 48 = 1
  3. x1,2 = 7 ± √12 = 7 ± 12
  4. x₁ = 7 + 12 = 4,   x₂ = 7 − 12 = 3

zelená čiara = D = ℝ · ● plné krúžky = korene (patria do riešenia)

✓ Kontrola: x = 4: 4² − 7 · 4 + 12 = 16 − 28 + 12 = 0 ✓;  x = 3: 3² − 7 · 3 + 12 = 9 − 21 + 12 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 4, x₂ = 3
Príklad 2Ľahký
Riešte rovnicu x² − 3x + 2 = 0 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. a = 1, b = −3, c = 2
  2. D = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1
  3. x1,2 = 3 ± √12 = 3 ± 12
  4. x₁ = 3 + 12 = 2,   x₂ = 3 − 12 = 1

zelená čiara = D = ℝ · ● plné krúžky = korene (patria do riešenia)

✓ Kontrola: x = 2: 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0 ✓;  x = 1: 1² − 3 · 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 2, x₂ = 1
Príklad 3Ľahký
Riešte rovnicu x² + x − 6 = 0 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. a = 1, b = 1, c = −6
  2. D = 1² − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25
  3. x1,2 = −1 ± √252 = −1 ± 52
  4. x₁ = −1 + 52 = 2,   x₂ = −1 − 52 = −3

zelená čiara = D = ℝ · ● plné krúžky = korene (patria do riešenia)

✓ Kontrola: x = 2: 2² + 1 · 2 − 6 = 4 + 2 − 6 = 0 ✓;  x = −3: (−3)² + 1 · (−3) − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 2, x₂ = −3
Príklad 4Ľahký
Riešte rovnicu x² − 6x + 8 = 0 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. a = 1, b = −6, c = 8
  2. D = (−6)² − 4 · 1 · 8 = 36 − 32 = 4
  3. x1,2 = 6 ± √42 = 6 ± 22
  4. x₁ = 6 + 22 = 4,   x₂ = 6 − 22 = 2

zelená čiara = D = ℝ · ● plné krúžky = korene (patria do riešenia)

✓ Kontrola: x = 4: 4² − 6 · 4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0 ✓;  x = 2: 2² − 6 · 2 + 8 = 4 − 12 + 8 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 4, x₂ = 2
Príklad 5Ľahký
Riešte rovnicu x² + 5x + 6 = 0 a ukážte definičný obor.
1. Definičný obor — prejdeme podmienky:
  • zlomok (menovateľ ≠ 0)? → nie je → bez podmienky
  • odmocnina (výraz pod ňou ≥ 0)? → nie je → bez podmienky
  • logaritmus (výraz v ňom > 0)? → nie je → bez podmienky
  • iba +, −, · a mocniny → vypočítať sa dá pre každé číslo → D = ℝ (celá zelená priamka, žiadny krúžok)
2. Riešenie:
  1. a = 1, b = 5, c = 6
  2. D = 5² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
  3. x1,2 = −5 ± √12 = −5 ± 12
  4. x₁ = −5 + 12 = −2,   x₂ = −5 − 12 = −3

zelená čiara = D = ℝ · ● plné krúžky = korene (patria do riešenia)

✓ Kontrola: x = −2: (−2)² + 5 · (−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓;  x = −3: (−3)² + 5 · (−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −2, x₂ = −3

Ďalších 20 príkladov — od jednoduchých po náročné

🟢 Ľahké

Príklad 6Ľahký
Riešte rovnicu x² − 6x + 5 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Rovnica je už v tvare ax² + bx + c = 0.
Riešenie:
  1. a = 1, b = −6, c = 5
  2. D = b² − 4ac = (−6)² − 4 · 1 · 5 = 36 − 20 = 16
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 6 ± √162 · 1 = 6 ± 42
  4. x₁ = 6 + 42 = 5,   x₂ = 6 − 42 = 1
✓ Kontrola: x = 1: 1·1² − 6·1 + 5 = 0 ✓; x = 5: 1·5² − 6·5 + 5 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 1, x₂ = 5,  K = {1; 5}
Príklad 7Ľahký
Riešte rovnicu x² + 4x + 3 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Kladné b a c → oba korene budú záporné.
Riešenie:
  1. a = 1, b = 4, c = 3
  2. D = b² − 4ac = 4² − 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = −4 ± √42 · 1 = −4 ± 22
  4. x₁ = −4 + 22 = −1,   x₂ = −4 − 22 = −3
✓ Kontrola: x = −3: 1·(−3)² + 4·(−3) + 3 = 0 ✓; x = −1: 1·(−1)² + 4·(−1) + 3 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −3, x₂ = −1,  K = {−3; −1}
Príklad 8Ľahký
Riešte rovnicu x² − 8x + 15 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: b = −8, preto −b = +8.
Riešenie:
  1. a = 1, b = −8, c = 15
  2. D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 8 ± √42 · 1 = 8 ± 22
  4. x₁ = 8 + 22 = 5,   x₂ = 8 − 22 = 3
✓ Kontrola: x = 3: 1·3² − 8·3 + 15 = 0 ✓; x = 5: 1·5² − 8·5 + 15 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 3, x₂ = 5,  K = {3; 5}
Príklad 9Ľahký
Riešte rovnicu x² + 2x − 8 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: c je záporné → −4ac bude kladné.
Riešenie:
  1. a = 1, b = 2, c = −8
  2. D = b² − 4ac = 2² − 4 · 1 · (−8) = 4 + 32 = 36
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = −2 ± √362 · 1 = −2 ± 62
  4. x₁ = −2 + 62 = 2,   x₂ = −2 − 62 = −4
✓ Kontrola: x = −4: 1·(−4)² + 2·(−4) − 8 = 0 ✓; x = 2: 1·2² + 2·2 − 8 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −4, x₂ = 2,  K = {−4; 2}
Príklad 10Ľahký
Riešte rovnicu x² − x − 12 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Pred x stojí −1 → b = −1.
Riešenie:
  1. a = 1, b = −1, c = −12
  2. D = b² − 4ac = (−1)² − 4 · 1 · (−12) = 1 + 48 = 49
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 1 ± √492 · 1 = 1 ± 72
  4. x₁ = 1 + 72 = 4,   x₂ = 1 − 72 = −3
✓ Kontrola: x = −3: 1·(−3)² − 1·(−3) − 12 = 0 ✓; x = 4: 1·4² − 1·4 − 12 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −3, x₂ = 4,  K = {−3; 4}
Príklad 11Ľahký
Riešte rovnicu x² − 9 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Chýba člen s x → b = 0.
Riešenie:
  1. a = 1, b = 0, c = −9
  2. D = b² − 4ac = 0² − 4 · 1 · (−9) = 0 + 36 = 36
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 0 ± √362 · 1 = 0 ± 62
  4. x₁ = 0 + 62 = 3,   x₂ = 0 − 62 = −3
✓ Kontrola: x = −3: 1·(−3)² + 0·(−3) − 9 = 0 ✓; x = 3: 1·3² + 0·3 − 9 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −3, x₂ = 3,  K = {−3; 3}
Príklad 12Ľahký
Riešte rovnicu x² − 5x = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Chýba samotné číslo → c = 0.
Riešenie:
  1. a = 1, b = −5, c = 0
  2. D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 0 = 25 − 0 = 25
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 5 ± √252 · 1 = 5 ± 52
  4. x₁ = 5 + 52 = 5,   x₂ = 5 − 52 = 0
✓ Kontrola: x = 0: 1·0² − 5·0 + 0 = 0 ✓; x = 5: 1·5² − 5·5 + 0 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 0, x₂ = 5,  K = {0; 5}

🔵 Stredné

Príklad 13Stredný
Riešte rovnicu x² − 10x + 25 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Ak vyjde D = 0, rovnica má jeden (dvojnásobný) koreň.
Riešenie:
  1. a = 1, b = −10, c = 25
  2. D = b² − 4ac = (−10)² − 4 · 1 · 25 = 100 − 100 = 0
  3. D = 0 → jeden koreň: x = 102 = 5
✓ Kontrola: x = 5: 1·5² − 10·5 + 25 = 0 ✓
Výsledok: x = 5,  K = {5}
Príklad 14Stredný
Riešte rovnicu x² + 4x + 5 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Ak vyjde D < 0, rovnica nemá reálny koreň.
Riešenie:
  1. a = 1, b = 4, c = 5
  2. D = b² − 4ac = 4² − 4 · 1 · 5 = 16 − 20 = -4
  3. D < 0 → odmocnina zo záporného čísla v ℝ neexistuje → žiadny reálny koreň
Výsledok: nemá reálne riešenie,  K = ∅
Príklad 15Stredný
Riešte rovnicu 2x² − 5x + 2 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: a = 2 → v menovateli vzorca je 2a = 4.
Riešenie:
  1. a = 2, b = −5, c = 2
  2. D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 5 ± √92 · 2 = 5 ± 34
  4. x₁ = 5 + 34 = 2,   x₂ = 5 − 34 = 1/2
✓ Kontrola: x = 1/2: 2·1/2² − 5·1/2 + 2 = 0 ✓; x = 2: 2·2² − 5·2 + 2 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 1/2, x₂ = 2,  K = {1/2; 2}
Príklad 16Stredný
Riešte rovnicu 3x² − 7x + 2 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: a = 3 → 2a = 6; jeden koreň vyjde zlomok.
Riešenie:
  1. a = 3, b = −7, c = 2
  2. D = b² − 4ac = (−7)² − 4 · 3 · 2 = 49 − 24 = 25
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 7 ± √252 · 3 = 7 ± 56
  4. x₁ = 7 + 56 = 2,   x₂ = 7 − 56 = 1/3
✓ Kontrola: x = 1/3: 3·1/3² − 7·1/3 + 2 = 0 ✓; x = 2: 3·2² − 7·2 + 2 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 1/3, x₂ = 2,  K = {1/3; 2}
Príklad 17Stredný
Riešte rovnicu 2x² + 3x − 2 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: −4ac = −4 · 2 · (−2) = +16.
Riešenie:
  1. a = 2, b = 3, c = −2
  2. D = b² − 4ac = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = −3 ± √252 · 2 = −3 ± 54
  4. x₁ = −3 + 54 = 1/2,   x₂ = −3 − 54 = −2
✓ Kontrola: x = −2: 2·(−2)² + 3·(−2) − 2 = 0 ✓; x = 1/2: 2·1/2² + 3·1/2 − 2 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −2, x₂ = 1/2,  K = {−2; 1/2}
Príklad 18Stredný
Riešte rovnicu −x² + 4x − 3 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: a je záporné → aj 2a = −2 je záporné.
Riešenie:
  1. a = −1, b = 4, c = −3
  2. D = b² − 4ac = 4² − 4 · (−1) · (−3) = 16 − 12 = 4
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = −4 ± √42 · (−1) = −4 ± 2−2
  4. x₁ = −4 + 2−2 = 1,   x₂ = −4 − 2−2 = 3
✓ Kontrola: x = 1: −1·1² + 4·1 − 3 = 0 ✓; x = 3: −1·3² + 4·3 − 3 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 1, x₂ = 3,  K = {1; 3}
Príklad 19Stredný
Riešte rovnicu 4x² − 4x + 1 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Skontrolujte, či nevyjde D = 0.
Riešenie:
  1. a = 4, b = −4, c = 1
  2. D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 4 · 1 = 16 − 16 = 0
  3. D = 0 → jeden koreň: x = 48 = 1/2
✓ Kontrola: x = 1/2: 4·1/2² − 4·1/2 + 1 = 0 ✓
Výsledok: x = 1/2,  K = {1/2}

🔴 Náročné

Príklad 20Náročný
Riešte rovnicu x² + 3x = 10.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv musí byť na pravej strane 0.
Riešenie:
  1. presunieme 10 na ľavú stranu: x² + 3x − 10 = 0
  2. a = 1, b = 3, c = −10
  3. D = b² − 4ac = 3² − 4 · 1 · (−10) = 9 + 40 = 49
  4. D > 0 → dva korene: x1,2 = −3 ± √492 · 1 = −3 ± 72
  5. x₁ = −3 + 72 = 2,   x₂ = −3 − 72 = −5
✓ Kontrola: x = −5: 1·(−5)² + 3·(−5) − 10 = 0 ✓; x = 2: 1·2² + 3·2 − 10 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −5, x₂ = 2,  K = {−5; 2}
Príklad 21Náročný
Riešte rovnicu x(x − 4) = 12.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv roznásobiť a upraviť na tvar ax² + bx + c = 0.
Riešenie:
  1. roznásobíme: x² − 4x = 12
  2. presunieme 12: x² − 4x − 12 = 0
  3. a = 1, b = −4, c = −12
  4. D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
  5. D > 0 → dva korene: x1,2 = 4 ± √642 · 1 = 4 ± 82
  6. x₁ = 4 + 82 = 6,   x₂ = 4 − 82 = −2
✓ Kontrola: x = −2: 1·(−2)² − 4·(−2) − 12 = 0 ✓; x = 6: 1·6² − 4·6 − 12 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −2, x₂ = 6,  K = {−2; 6}
Príklad 22Náročný
Riešte rovnicu (x + 1)² = 2x + 10.
💡 Najprv si uvedomte: (a + b)² = a² + 2ab + b²; členy 2x sa odčítajú.
Riešenie:
  1. (x + 1)² = x² + 2x + 1
  2. x² + 2x + 1 = 2x + 10
  3. všetko doľava: x² − 9 = 0
  4. a = 1, b = 0, c = −9
  5. D = b² − 4ac = 0² − 4 · 1 · (−9) = 0 + 36 = 36
  6. D > 0 → dva korene: x1,2 = 0 ± √362 · 1 = 0 ± 62
  7. x₁ = 0 + 62 = 3,   x₂ = 0 − 62 = −3
✓ Kontrola: x = −3: 1·(−3)² + 0·(−3) − 9 = 0 ✓; x = 3: 1·3² + 0·3 − 9 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −3, x₂ = 3,  K = {−3; 3}
Príklad 23Náročný
Riešte rovnicu (x − 2)(x + 3) = 6.
💡 Najprv si uvedomte: Súčin sa rovná 6, nie 0 — preto najprv roznásobiť a presunúť.
Riešenie:
  1. roznásobíme: x² + 3x − 2x − 6 = 6
  2. x² + x − 6 = 6
  3. presunieme 6: x² + x − 12 = 0
  4. a = 1, b = 1, c = −12
  5. D = b² − 4ac = 1² − 4 · 1 · (−12) = 1 + 48 = 49
  6. D > 0 → dva korene: x1,2 = −1 ± √492 · 1 = −1 ± 72
  7. x₁ = −1 + 72 = 3,   x₂ = −1 − 72 = −4
✓ Kontrola: x = −4: 1·(−4)² + 1·(−4) − 12 = 0 ✓; x = 3: 1·3² + 1·3 − 12 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −4, x₂ = 3,  K = {−4; 3}
Príklad 24Náročný
Riešte rovnicu 2x² − 3x − 5 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: a = 2, c = −5 → −4ac = +40.
Riešenie:
  1. a = 2, b = −3, c = −5
  2. D = b² − 4ac = (−3)² − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49
  3. D > 0 → dva korene: x1,2 = 3 ± √492 · 2 = 3 ± 74
  4. x₁ = 3 + 74 = 5/2,   x₂ = 3 − 74 = −1
✓ Kontrola: x = −1: 2·(−1)² − 3·(−1) − 5 = 0 ✓; x = 5/2: 2·5/2² − 3·5/2 − 5 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = −1, x₂ = 5/2,  K = {−1; 5/2}
Príklad 25Náročný
Riešte rovnicu (2x − 1)² − (x + 1)² = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Mínus pred druhou zátvorkou mení všetky znamienka.
Riešenie:
  1. (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1
  2. (x + 1)² = x² + 2x + 1
  3. 4x² − 4x + 1 − x² − 2x − 1 = 0
  4. 3x² − 6x = 0
  5. a = 3, b = −6, c = 0
  6. D = b² − 4ac = (−6)² − 4 · 3 · 0 = 36 − 0 = 36
  7. D > 0 → dva korene: x1,2 = 6 ± √362 · 3 = 6 ± 66
  8. x₁ = 6 + 66 = 2,   x₂ = 6 − 66 = 0
✓ Kontrola: x = 0: 3·0² − 6·0 + 0 = 0 ✓; x = 2: 3·2² − 6·2 + 0 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 0, x₂ = 2,  K = {0; 2}
Blok 2 / 2Definičný obor na číselnej osi⏱ 120 min

Definičný obor funkcie

1. Čo je definičný obor

Čo je definičný obor D(f)?
Množina všetkých hodnôt x, pre ktoré je funkcia definovaná (dáva zmysel). Pre mnohočleny (napr. 3x − 5, x² − 5x + 6) je D(f) = ℝ = (−∞; ∞). Obmedzenia nastávajú pri zlomkoch, odmocninách a logaritmoch.

2. Podmienky pre určenie definičného oboru

Pozrieme sa, či je v predpise niečo, čo sa nedá vypočítať pre každé číslo. Každému takému prípadu zodpovedá jedna podmienka:

Výraz v predpisePodmienkaZdôvodneniePríkladHranica na osi
mnohočlen
(len +, −, ·, mocniny)		žiadnatieto operácie sú definované pre každé reálne číslof(x) = x² − 5x + 6
→ D(f) = ℝ = (−∞; ∞)		celá os, bez krúžkov
zlomok ABB ≠ 0delenie nulou nie je definovanéf(x) = 1x − 3: x − 3 ≠ 0
→ D(f) = ℝ ∖ {3} = (−∞; 3) ∪ (3; ∞)		○ prázdny, zátvorky ) (
odmocnina √AA ≥ 0druhá odmocnina záporného čísla nie je reálne číslo; √0 = 0 existujef(x) = √x − 2: x − 2 ≥ 0
→ D(f) = ⟨2; ∞)		● plný, zátvorka ⟨
odmocnina v menovateli 1√AA > 0musí platiť A ≥ 0 (odmocnina) a zároveň √A ≠ 0 (menovateľ)f(x) = 1√x − 2: x − 2 > 0
→ D(f) = (2; ∞)		○ prázdny, zátvorka (
logaritmus log AA > 0logaritmus je definovaný len pre kladné čísla (10y > 0 pre každé y)f(x) = log (x + 1): x + 1 > 0
→ D(f) = (−1; ∞)		○ prázdny, zátvorka (
logaritmus v menovateli 1log AA > 0 a A ≠ 1A > 0 pre existenciu logaritmu; log 1 = 0 by znamenal delenie nulouf(x) = 1log x: x > 0, x ≠ 1
→ D(f) = (0; 1) ∪ (1; ∞)		○ pri 0 aj pri 1
📌 Ak predpis obsahuje viac takýchto častí, musia platiť všetky podmienky súčasne — D(f) je ich prienik.

3. Ako sa ráta definičný obor — postup

📋 Postup určenia D(f)
  1. Identifikuj všetky obmedzenia (zlomky, √, log).
  2. Pre každé obmedzenie zostav nerovnicu (≠, ≥ alebo >).
  3. Vyrieš každú nerovnicu.
  4. Zakresli všetky na jednu číselnú os: ● plný krúžok pri ≥ (číslo patrí), ○ prázdny pri > a ≠ (číslo nepatrí).
  5. D(f) = časť osi, kde platia všetky podmienky naraz (prienik).

4. Ako vyriešiť jednotlivé podmienky

a) Lineárna podmienka (x je len v prvej mocnine)

√x − 3 → x − 3 ≥ 0
  • riešime ako rovnicu, len so znakom ≥: x ≥ 3
√6 − 2x → 6 − 2x ≥ 0
  1. −2x ≥ −6
  2. delíme záporným číslom −2 → znak sa otočí: x ≤ 3
⚠ Pri násobení alebo delení nerovnice záporným číslom sa znak nerovnosti otočí (≥ ↔ ≤, > ↔ <).

b) Podmienka „≠“ (menovateľ)

1x² − 4 → x² − 4 ≠ 0
  1. riešime ako rovnicu x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = 2 alebo x = −2 (aj (−2)² = 4)
  2. tieto čísla vylúčime: x ≠ 2 a x ≠ −2

c) Podmienka s x² — nulové body a testovanie intervalov: x² − 9 ≥ 0

Pri podmienkach ako x² − 9 ≥ 0 nestačí „presunúť číslo“. Nájdeme nulové body, rozdelíme nimi číselnú os a v každom intervale otestujeme znamienko.

🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom

Výraz x² − 9 je kladný, záporný alebo nula podľa toho, aké x dosadíme. Musíme zistiť, pre ktoré x je nezáporný — postupujeme systematicky:

  1. Určte podmienku:
    • výraz pod odmocninou musí byť nezáporný: x² − 9 ≥ 0 (väčší alebo rovný nule)
  2. Nájdite nulové body (kde je výraz presne 0):
    • x² − 9 = 0 ⟹ x² = 9 ⟹ x = −3 alebo x = 3
    • pozor na obe riešenia: 3 · 3 = 9 aj (−3) · (−3) = 9
  3. Rozdeľte číselnú os na intervaly:
    • nulové body −3 a 3 rozdelia os na tri intervaly: (−∞; −3), (−3; 3), (3; ∞)
  4. Otestujte znamienko v každom intervale (dosaďte ľubovoľné číslo z intervalu):
    • interval (−∞; −3), napr. x = −4: (−4)² − 9 = 16 − 9 = 7 → kladné + ✓
    • interval (−3; 3), napr. x = 0: 0² − 9 = −9 → záporné − ✗
    • interval (3; ∞), napr. x = 4: 4² − 9 = 16 − 9 = 7 → kladné + ✓
    • samotné body x = −3 a x = 3: výraz je 0 a podmienka znie „≥ 0“ → patria ✓ (plný krúžok)
  5. Výsledok:
    • hľadáme, kde je výraz ≥ 0, čiže kde vyšlo plus (a nulové body): x ∈ (−∞; −3⟩ ∪ ⟨3; ∞)
x² − 9 ≥ 0  ⇔  x ≤ −3 alebo x ≥ 3  →  (−∞; −3⟩ ∪ ⟨3; ∞)
💡 Pravidlo na zapamätanie: pri výraze x² − číslo je hodnota kladný mimo koreňov (vľavo a vpravo) a záporný medzi koreňmi.

⚖ Definičný obor alebo nerovnica? — dôležitý rozdiel

ÚlohaČo nás zaujímaPríklad
Definičný obor D(f) zlomku
g(x) = x − 2x + 1		Zaujíma nás len to, čo nesmie byť v menovateli (aby nevznikla nula). Čitateľ môže byť akýkoľvek.x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
D(g) = ℝ ∖ {−1} = (−∞; −1) ∪ (−1; ∞)
Nerovnica (> 0 alebo < 0)
x − 2x + 1 > 0
(napr. keď je zlomok v logaritme)		Zaujíma nás, aké znamienko má celý zlomok → musíme skúmať čitateľa aj menovateľa naraz (tabuľka znamienok).znamienko + vyjde v (−∞; −1) a (2; ∞)
x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; ∞)

d) Zlomok > 0 (napr. v logaritme) — tabuľka znamienok

🔎 Prečo to tak je?

Zlomok x − 2x + 1 je väčší ako nula (teda kladný) v dvoch prípadoch:

  1. Oba výrazy sú kladné (kladný deleno kladný = kladný): x − 2 > 0 a zároveň x + 1 > 0.
  2. Oba výrazy sú záporné (záporný deleno záporný = kladný): x − 2 < 0 a zároveň x + 1 < 0.

Preto musíme vyšetriť znamienko celého zlomku pomocou tabuľky znamienok (metódy nulových bodov) pre obe časti naraz.

📋 Ako správne postupovať pri tabuľke znamienok
  1. Určite podmienku: menovateľ sa nesmie rovnať nule: x + 1 = 0 ⟹ x = −1, teda x ≠ −1.
  2. Nájdite nulové body (korene):
    • čitateľ: x − 2 = 0 ⟹ x = 2
    • menovateľ: x + 1 = 0 ⟹ x = −1
  3. Rozdeľte číselnú os na intervaly: nulové body −1 a 2 rozdelia os na tri intervaly:
    • (−∞; −1)
    • (−1; 2)
    • (2; ∞)
  4. Zostavte tabuľku a otestujte znamienka: zistite znamienko čitateľa a menovateľa v každom intervale (dosadením ľubovoľného čísla z daného intervalu):
    • pre interval (−∞; −1), napr. x = −2:
      • čitateľ: −2 − 2 = −4 (záporný)
      • menovateľ: −2 + 1 = −1 (záporný)
      • výsledok zlomku: (−) : (−) = + (kladný) ✓
    • pre interval (−1; 2), napr. x = 0:
      • čitateľ: 0 − 2 = −2 (záporný)
      • menovateľ: 0 + 1 = 1 (kladný)
      • výsledok zlomku: (−) : (+) = − (záporný) ✗
    • pre interval (2; ∞), napr. x = 3:
      • čitateľ: 3 − 2 = 1 (kladný)
      • menovateľ: 3 + 1 = 4 (kladný)
      • výsledok zlomku: (+) : (+) = + (kladný) ✓
  5. Výsledok: hľadáme, kde je zlomok väčší ako nula (> 0), čiže tam, kde vyšlo znamienko plus. Body −1 a 2 nepatria (pri −1 delíme nulou, pri 2 je zlomok 0, nie väčší ako 0) → prázdne krúžky.
    Riešenie: x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; ∞)

Tabuľka znamienok — prehľadne:

Intervalskúšobné xx − 2x + 1zlomok
(−∞; −1)−2−−+ ✓
(−1; 2)0−+− ✗
(2; ∞)3+++ ✓
x − 2x + 1 > 0  ⇔  x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; ∞)

5. Ako zakresliť výsledok na číselnú os — plný a prázdny krúžok

Číselná os (priamka)
Vodorovná priamka so šípkou doprava (smer rastúcich čísel). Definičný obor na nej vyfarbíme — zelená časť = čísla, ktoré smieme dosadiť. Na hraniciach kreslíme krúžky.
ZápisZnamenáKrúžok na hraniciZátvorka
x ≥ a,  x ≤ aa patrí (aj rovná sa)● plný⟨ ⟩
x > a,  x < aa nepatrí (ostrá nerovnosť)○ prázdny( )
x ≠ avšetky čísla okrem a○ prázdny, os pokračuje ďalejℝ ∖ {a}
±∞nekonečno nie je čísložiadny krúžok, šípka pokračujevždy ( )
✅ Postup zakreslenia
  1. Nakreslite os so šípkou a vyznačte čísla (hranice) zo zadania.
  2. Pri každej hranici rozhodnite: ≥, ≤ → ● plný krúžok; >, <, ≠ → ○ prázdny krúžok.
  3. Vyfarbite časť osi, ktorá vyhovuje (x > a → doprava od a; x < a → doľava od a).
  4. Zapíšte výsledok intervalom — plný krúžok = lomená zátvorka ⟨ ⟩, prázdny = okrúhla ( ).
  5. Kontrola: vyberte jedno číslo z vyfarbenej časti a dosaďte do podmienky — musí platiť.

x ≥ 2

2 patrí (≥) → ● · vyfarbíme doprava

x < −1

−1 nepatrí (<) → ○ · vyfarbíme doľava

x ≠ 3

vyfarbíme všetko, iba v 3 je ○ „diera“

−2 < x ≤ 4

−2 nepatrí → ○, 4 patrí → ● · vyfarbíme medzi nimi

● Plný a ○ prázdny krúžok na číselnej osi — kedy ktorý?

KrúžokZnamenáKedy ho kreslímeZátvorka
●číslo patríriešenie rovnice (x = 9), znamienka ≥ a ≤⟨ ⟩
○číslo nepatríznamienka > a <, ≠, číslo, pre ktoré je menovateľ 0( ) — pri ∞ vždy

Zelená čiara = definičný obor (čísla, ktoré smieme dosadiť). V rovniciach bez zlomku a odmocniny smieme dosadiť každé číslo → D = ℝ = celá priamka, bez krúžkov.

Príklad, kde vidno oba krúžky: 6x − 2 = 3 → menovateľ x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2 (○ prázdny). Riešenie: 6 = 3(x − 2) → 6 = 3x − 6 → x = 4 (● plný).

✅ Postup pre správny výpočet definičného oboru
  1. Nájdite všetky zlomky → menovateľ ≠ 0.
  2. Nájdite všetky odmocniny → výraz pod odmocninou ≥ 0 (√0 = 0 existuje).
  3. Ak je odmocnina v menovateli → výraz pod ňou > 0.
  4. Nájdite všetky logaritmy → argument > 0 (log 0 neexistuje); ak je logaritmus v menovateli, aj argument ≠ 1.
  5. Pri rovnici typu x² = 9 zapíšte obe riešenia: x = 3 aj x = −3.
  6. Podmienky s x² alebo so zlomkom (> 0, ≥ 0) riešte nulovými bodmi a testovaním intervalov.
  7. Všetky podmienky zakreslite na číselnú os a vyberte čísla, ktoré spĺňajú všetky naraz.
  8. Výsledok zapíšte intervalom: ⟨ ⟩ ak číslo patrí, ( ) ak nepatrí, pri ∞ vždy ( ).
  9. Urobte skúšku: číslo z výsledku sa musí dať dosadiť, číslo mimo výsledku nie.

6. Riešené príklady

Príklad 1 — zlomok
f(x) = 1x − 3
  1. menovateľ: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3 (pri x = 3 by sme delili nulou)
D(f) = ℝ ∖ {3} = (−∞; 3) ∪ (3; ∞)

3 vynecháme → ○ prázdny krúžok, ostatné čísla patria

Príklad 2 — odmocnina
f(x) = √2x − 4
  1. odmocnina: 2x − 4 ≥ 0 → 2x ≥ 4 → x ≥ 2
  2. pri x = 2 je √0 = 0 — to sa vypočítať dá
D(f) = ⟨2; ∞)

2 patrí (√0 = 0) → ● plný krúžok

Príklad 3 — odmocnina v zlomku (kombinovaná)
f(x) = √x + 1x − 2
  1. podmienka 1 (√): x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1
  2. podmienka 2 (menovateľ): x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2
  3. obe naraz: od −1 vrátane, ale bez čísla 2
D(f) = ⟨−1; ∞) ∖ {2} = ⟨−1; 2) ∪ (2; ∞)

−1 patrí (√0 = 0 v čitateli je v poriadku) → ● · 2 nepatrí (menovateľ 0) → ○

Príklad 4 — logaritmus
f(x) = log (x − 1)
  1. logaritmus: x − 1 > 0 → x > 1
  2. pri x = 1 by bol log 0 — neexistuje
D(f) = (1; ∞)

1 nepatrí (log 0 neexistuje) → ○ prázdny krúžok

Príklad 5 — zložené podmienky (odmocnina + zlomok + log)
f(x) = √x + 4log x
  1. podmienka 1 (√): x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4
  2. podmienka 2 (log): x > 0
  3. podmienka 3 (log v menovateli ≠ 0): log x ≠ 0 → x ≠ 1 (lebo log 1 = 0)
  4. všetky naraz: x > 0 (to je prísnejšie ako x ≥ −4) a bez čísla 1
D(f) = (0; 1) ∪ (1; ∞)

0 nepatrí (log 0) → ○ · 1 nepatrí (log 1 = 0 v menovateli) → ○

⚠ Pri zložených funkciách vždy píš a kombinuj všetky podmienky naraz. Neuvádzaj prienik čiastkovo — ľahko vynecháš obmedzenie.
⚠ Pri zložených funkciách vždy píš a kombinuj všetky podmienky naraz.

7. Cvičenia — vyskúšaj sám/sama

A. Zakreslite na číselnú os

Cvičenie 1Ľahký
Zakreslite na číselnú os: x ≥ 2
Postup:
  1. hranica 2, znak ≥ → 2 patrí → ● plný krúžok
  2. x väčšie → vyfarbíme doprava
Výsledok: ⟨2; ∞)
Cvičenie 2Ľahký
Zakreslite na číselnú os: x < −1
Postup:
  1. hranica −1, znak < → −1 nepatrí → ○ prázdny krúžok
  2. x menšie → vyfarbíme doľava
Výsledok: (−∞; −1)
Cvičenie 3Ľahký
Zakreslite na číselnú os: x ≠ 3
Postup:
  1. vylúčime iba číslo 3 → ○ prázdny krúžok
  2. všetko ostatné vyfarbíme
Výsledok: ℝ ∖ {3} = (−∞; 3) ∪ (3; ∞)
Cvičenie 4Stredný
Zakreslite na číselnú os: −1 ≤ x ≤ 2
Postup:
  1. obe hranice so znakom ≤ → ● plné krúžky pri −1 aj 2
  2. vyfarbíme úsek medzi nimi
Výsledok: ⟨−1; 2⟩
Cvičenie 5Stredný
Zakreslite na číselnú os: −2 < x ≤ 4
Postup:
  1. pri −2 je < → ○
  2. pri 4 je ≤ → ●
  3. vyfarbíme medzi −2 a 4
Výsledok: (−2; 4⟩
Cvičenie 6Náročný
Zakreslite na číselnú os: x ≤ 0 alebo x > 3
Postup:
  1. „alebo“ → dve oddelené časti
  2. x ≤ 0: ● pri 0, doľava
  3. x > 3: ○ pri 3, doprava
Výsledok: (−∞; 0⟩ ∪ (3; ∞)
Cvičenie 7Ľahký
Zakreslite na číselnú os: riešenie rovnice x = 4
Postup:
  1. riešenie rovnice je jedno číslo → ● plný bod
  2. nič iné nevyfarbujeme
Výsledok: K = {4}

B. Určte definičný obor a zakreslite ho

D(f) 1Definičný obor
Určte D(f) pre funkciu: f(x) = 1x + 5
Podmienky a riešenie:
  1. menovateľ: x + 5 ≠ 0 → x ≠ −5

−5 nepatrí → ○ prázdny krúžok

Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {−5} = (−∞; −5) ∪ (−5; ∞)
D(f) 2Definičný obor
Určte D(f) pre funkciu: f(x) = √3x − 6
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: 3x − 6 ≥ 0 → 3x ≥ 6 → x ≥ 2

2 patrí (√0 = 0) → ● plný krúžok

Výsledok: D(f) = ⟨2; ∞)
D(f) 3Definičný obor
Určte D(f) pre funkciu: f(x) = √x + 1x − 2
Podmienky a riešenie:
  1. podmienka 1 (√): x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1
  2. podmienka 2 (menovateľ): x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2
  3. obe naraz: od −1 vrátane, ale bez čísla 2

−1 patrí (√0 = 0 v čitateli je v poriadku) → ● · 2 nepatrí (menovateľ 0) → ○

Výsledok: D(f) = ⟨−1; 2) ∪ (2; ∞)
D(f) 4Definičný obor
Určte D(f) pre funkciu: f(x) = log (x − 1)
Podmienky a riešenie:
  1. logaritmus: x − 1 > 0 → x > 1
  2. pri x = 1 by bol log 0 — neexistuje

1 nepatrí (log 0 neexistuje) → ○ prázdny krúžok

Výsledok: D(f) = (1; ∞)
D(f) 5Definičný obor
Určte D(f) pre funkciu: f(x) = √x + 4log x
Podmienky a riešenie:
  1. podmienka 1 (√): x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4
  2. podmienka 2 (log): x > 0
  3. podmienka 3 (log v menovateli ≠ 0): log x ≠ 0 → x ≠ 1 (lebo log 1 = 0)
  4. všetky naraz: x > 0 (to je prísnejšie ako x ≥ −4) a bez čísla 1

0 nepatrí (log 0) → ○ · 1 nepatrí (log 1 = 0 v menovateli) → ○

Výsledok: D(f) = (0; 1) ∪ (1; ∞)

Príklady

Postup: vlastný pokus → odkrytie riešenia → diskusia.

Blok 1 / 2Výpočet lineárnej a kvadratickej rovnice⏱ 120 min
A. Lineárne rovnice — základné úpravy
Príklad 1Ľahký
Riešte rovnicu 3x − 6 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo 6 je odčítané — prenesieme ho na pravú stranu so zmenou znamienka, potom vydelíme číslom pred x.
Riešenie:
  1. 3x = 0 + 6
  2. 3x = 6
  3. x = 63
  4. x = 2
✓ Kontrola: 3 · 2 − 6 = 0 ✓
Výsledok: x = 2
Príklad 2Ľahký
Riešte rovnicu 2x + 5 = 11.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv sa zbavíme čísla 5 (je pripočítané), potom čísla 2 (x je ním vynásobené) — v opačnom poradí, ako by sme počítali.
Riešenie:
  1. 2x = 11 − 5
  2. 2x = 6
  3. x = 62
  4. x = 3
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Rovnica ako váhy:
    • na oboch miskách je rovnaká hodnota: 2x + 5 a 11
    • ak z oboch misiek uberieme 5, váhy ostanú v rovnováhe → 2x = 6
    • ak obe misky rozdelíme na polovicu → x = 3
  2. Preto „prenos so zmenou znamienka“:
    • +5 vľavo zmizne a vpravo sa objaví −5 — v skutočnosti sme od oboch strán odčítali 5
✓ Kontrola: 2 · 3 + 5 = 11 ✓
Výsledok: x = 3
Príklad 3Ľahký
Riešte rovnicu −3x + 7 = 1.
💡 Najprv si uvedomte: Na konci delíme záporným číslom −3. Mínus deleno mínus je plus.
Riešenie:
  1. −3x = 1 − 7
  2. −3x = −6
  3. x = −6−3
  4. x = 2
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Prečo nie x = −2?
    • −6 : (−3) — obe čísla sú záporné, podiel je kladný
    • kontrola dosadením rozhodne: −3 · (−2) + 7 = 13 ≠ 1 ✗
✓ Kontrola: −3 · 2 + 7 = −6 + 7 = 1 ✓
Výsledok: x = 2
Príklad 4Ľahký
Riešte rovnicu x − 4 = 10.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo 4 je odčítané — „vrátime“ ho pripočítaním 4 k obom stranám.
Riešenie:
  1. x = 10 + 4
  2. x = 14
✓ Kontrola: 14 − 4 = 10 ✓
Výsledok: x = 14
Príklad 5Ľahký
Riešte rovnicu 5x = 20.
💡 Najprv si uvedomte: 5x znamená 5 · x. Opačná operácia k násobeniu je delenie.
Riešenie:
  1. x = 205
  2. x = 4
✓ Kontrola: 5 · 4 = 20 ✓
Výsledok: x = 4
Príklad 6Ľahký
Riešte rovnicu 12x + 3 = 6.
💡 Najprv si uvedomte: Ak je x vynásobené ½ (teda vydelené 2), zbavíme sa toho vynásobením 2.
Riešenie:
  1. 12x = 6 − 3
  2. 12x = 3
  3. x = 3 · 2
  4. x = 6
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Prečo násobíme 2?
    • ½ · x je polovica z x
    • ak polovica čísla je 3, celé číslo je 2 · 3 = 6
✓ Kontrola: ½ · 6 + 3 = 3 + 3 = 6 ✓
Výsledok: x = 6
B. Lineárne rovnice — presun členov a zátvorky (z prezentácie)
📌 Postup: roznásobiť zátvorky → x doľava, čísla doprava (pri prenose meníme znamienko) → zjednodušiť → vydeliť číslom pred x → skúška.
Príklad 7Ľahký
Riešte rovnicu 3x − 5 = 2x + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Lineárna rovnica ax + b = cx + d má po úprave tvar x = konštanta — jedno riešenie.
Riešenie:
  1. prenesieme 2x doľava a −5 doprava (zmena znamienok): 3x − 2x = 4 + 5
  2. zjednodušíme: x = 9
✓ Kontrola: Ľ = 3 · 9 − 5 = 22, P = 2 · 9 + 4 = 22 ✓
Výsledok: x = 9 (jediný koreň)
Príklad 8Ľahký
Riešte rovnicu 7x + 2 = 5x + 10.
💡 Najprv si uvedomte: Na konci delíme číslom pred x (2), aby x zostalo samo.
Riešenie:
  1. 7x − 5x = 10 − 2
  2. 2x = 8
  3. x = 8 : 2 = 4
✓ Kontrola: Ľ = 7 · 4 + 2 = 30, P = 5 · 4 + 10 = 30 ✓
Výsledok: x = 4
Príklad 9Ľahký
Riešte rovnicu 6x − 3 = 2x + 9.
Riešenie:
  1. 6x − 2x = 9 + 3
  2. 4x = 12
  3. x = 12 : 4 = 3
✓ Kontrola: Ľ = 6 · 3 − 3 = 15, P = 2 · 3 + 9 = 15 ✓
Výsledok: x = 3
Príklad 10Ľahký
Riešte rovnicu 8x + 5 = 3x + 20.
Riešenie:
  1. 8x − 3x = 20 − 5
  2. 5x = 15
  3. x = 15 : 5 = 3
✓ Kontrola: Ľ = 8 · 3 + 5 = 29, P = 3 · 3 + 20 = 29 ✓
Výsledok: x = 3
Príklad 11Stredný
Riešte rovnicu 2(4x − 1) = 3x + 5.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo pred zátvorkou násobí každý člen v zátvorke — aj −1. Výsledok nemusí byť celé číslo.
Riešenie:
  1. roznásobíme zátvorku: 2 · 4x − 2 · 1 = 8x − 2 → 8x − 2 = 3x + 5
  2. 8x − 3x = 5 + 2
  3. 5x = 7
  4. x = 7/5 = 1,4
✓ Kontrola: Ľ = 2 · (5,6 − 1) = 9,2; P = 4,2 + 5 = 9,2 ✓
Výsledok: x = 7/5 = 1,4
Príklad 12Stredný
Riešte rovnicu 5(x − 2) + 3x = 2(x + 4) + x.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv upravíme každú stranu zvlášť (sčítame x so x), až potom prenášame.
Riešenie:
  1. roznásobíme: 5x − 10 + 3x = 2x + 8 + x
  2. zjednodušíme každú stranu: 8x − 10 = 3x + 8
  3. 8x − 3x = 8 + 10
  4. 5x = 18
  5. x = 18/5 = 3,6
✓ Kontrola: Ľ = 5 · 1,6 + 10,8 = 18,8; P = 2 · 7,6 + 3,6 = 18,8 ✓
Výsledok: x = 18/5 = 3,6
Príklad 13Ľahký
Riešte rovnicu 4x − 7 = 2x + 5.
💡 Najprv si uvedomte: členy s x idú doľava, čísla doprava — pri prenose sa mení znamienko.
Riešenie:
  1. 4x − 2x = 5 + 7
  2. 2x = 12
  3. x = 6
✓ Kontrola: Ľ = 24 − 7 = 17, P = 12 + 5 = 17 ✓
Výsledok: x = 6
Príklad 14Ľahký
Riešte rovnicu 3(x + 2) = 2x + 10.
💡 Najprv si uvedomte: najprv roznásobíme zátvorku — číslo 3 násobí x aj 2.
Riešenie:
  1. roznásobíme: 3x + 6 = 2x + 10
  2. 3x − 2x = 10 − 6
  3. x = 4
✓ Kontrola: Ľ = 3 · 6 = 18, P = 8 + 10 = 18 ✓
Výsledok: x = 4
Príklad 15Ľahký
Riešte rovnicu x/2 + 3 = 7.
💡 Najprv si uvedomte: opačná operácia k deleniu je násobenie.
Riešenie:
  1. odčítame 3: x/2 = 4
  2. vynásobíme 2: x = 8
✓ Kontrola: 8/2 + 3 = 4 + 3 = 7 ✓
Výsledok: x = 8
Príklad 16Stredný
Riešte rovnicu 5 − 2x = 11.
💡 Najprv si uvedomte: delíme záporným číslom → výsledok zmení znamienko: 6 : (−2) = −3.
Riešenie:
  1. odčítame 5: −2x = 6
  2. vydelíme −2: x = −3
✓ Kontrola: 5 − 2 · (−3) = 5 + 6 = 11 ✓
Výsledok: x = −3
C. Rovnice so zlomkami a počet riešení
Príklad 17Náročný
Riešte rovnicu 2x − 34 + x + 52 = 3x − 16.
💡 Najprv si uvedomte: Zlomkov sa zbavíme vynásobením celej rovnice najmenším spoločným násobkom menovateľov 4, 2, 6, teda číslom 12.
Riešenie:
  1. 12 · (2x − 34 + x + 52) = 12 · 3x − 16
  2. roznásobíme: 3(2x − 3) + 6(x + 5) = 2(3x − 1)
  3. vypočítame: 6x − 9 + 6x + 30 = 6x − 2
  4. spojíme členy: 12x + 21 = 6x − 2
  5. odčítame 6x z oboch strán: 6x + 21 = −2
  6. odčítame 21: 6x = −23
  7. vydelíme 6: x = −236
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Prečo 12?
    • 12 : 4 = 3,  12 : 2 = 6,  12 : 6 = 2 → každý menovateľ sa vykráti
    • menšie spoločné číslo neexistuje (napr. 6 nie je deliteľné 4)
  2. Prečo zátvorky?
    • čitateľ je celok: 3 · (2x − 3) = 6x − 9 — násobíme aj −3
  3. Výsledok nemusí byť celé číslo:
    • x = −23/6 ≈ −3,83 je úplne v poriadku
✓ Kontrola: ľavá strana: (2 · (−23/6) − 3)/4 + (−23/6 + 5)/2 = −8/3 + 7/12 = −25/12; pravá strana: (3 · (−23/6) − 1)/6 = −25/12 ✓
Výsledok: x = −23/6
Príklad 18Stredný
Riešte rovnicu 5(x − 2) − 3(x + 4) = 2(x − 1) + 7.
💡 Najprv si uvedomte: Ak po úprave x úplne zmizne, rozhoduje, či zostalo pravdivé alebo nepravdivé tvrdenie.
Riešenie:
  1. roznásobíme zátvorky: 5x − 10 − 3x − 12 = 2x − 2 + 7
  2. spojíme členy: (5x − 3x) + (−10 − 12) = 2x + 5
  3. 2x − 22 = 2x + 5
  4. odčítame 2x z oboch strán: −22 = 5 ❌
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Čo znamená −22 = 5?
    • x zmizlo a zostalo tvrdenie, ktoré nikdy neplatí
    • nech dosadíme akékoľvek x, ľavá strana bude vždy o 27 menšia ako pravá
Výsledok: rovnica nemá riešenie, K = ∅
Príklad 19Stredný
Riešte rovnicu 2(x + 3) = 2x + 6.
💡 Najprv si uvedomte: Opačný prípad k predchádzajúcemu príkladu: x zmizne, ale zostane pravdivé tvrdenie.
Riešenie:
  1. roznásobíme: 2x + 6 = 2x + 6
  2. odčítame 2x: 6 = 6 ✓ (platí vždy)
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Čo znamená 6 = 6?
    • tvrdenie je pravdivé pre každé x
    • ľavá aj pravá strana sú v skutočnosti ten istý výraz
✓ Kontrola: napr. x = 0: 2 · 3 = 6 ✓; x = 10: 2 · 13 = 26 = 20 + 6 ✓
Výsledok: nekonečne veľa riešení, K = ℝ
D. Kvadratické rovnice (z prezentácie)
📌 Postup: rovnicu upravíme na tvar ax² + bx + c = 0 → určíme a, b, c → D = b² − 4ac → x1,2 = (−b ± √D) / (2a).
Príklad 20Ľahký
Riešte rovnicu x² − 5x + 6 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: D > 0 → dva rôzne korene.
Riešenie:
  1. a = 1, b = −5, c = 6
  2. D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
  3. x1,2 = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
  4. x₁ = 6/2 = 3, x₂ = 4/2 = 2
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Rovnica ↔ funkcia:
    • ľavú stranu rovnice x² − 5x + 6 = 0 chápeme ako funkciu y = x² − 5x + 6
    • riešiť rovnicu = hľadať x, pre ktoré je y = 0
✓ Kontrola: 3² − 15 + 6 = 0 ✓; 2² − 10 + 6 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 3, x₂ = 2
Príklad 21Náročný
Riešte rovnicu (x − 2)² + (x − 9)² = (x − 11)².
💡 Najprv si uvedomte: Po zjednodušení zostala jednoduchá rovnica x² = 36. Odmocnina z 36 je 6, ale riešením je aj −6, lebo (−6)² = 36.
Riešenie:
  1. rozpíšeme štvorce podľa (a − b)² = a² − 2ab + b²:
    (x − 2)² = x² − 4x + 4;  (x − 9)² = x² − 18x + 81;  (x − 11)² = x² − 22x + 121
  2. dosadíme: x² − 4x + 4 + x² − 18x + 81 = x² − 22x + 121
  3. zjednodušíme ľavú stranu: 2x² − 22x + 85 = x² − 22x + 121
  4. odčítame x² − 22x + 121 z oboch strán: x² − 36 = 0
  5. x² = 36 → x = 6 alebo x = −6
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Po úprave máme rovnicu x² − 36 = 0:
    • nakreslíme funkciu y = x² − 36
✓ Kontrola: x = 6: 16 + 9 = 25 = 5² ✓
Výsledok: x = 6 alebo x = −6
Príklad 22Stredný
Riešte rovnicu x² − 3x + 2 = 20.
💡 Najprv si uvedomte: Vzorec funguje iba pre tvar „… = 0“, preto najprv presunieme 20 doľava.
Riešenie:
  1. presunieme 20 na ľavú stranu (zmena znamienka): x² − 3x + 2 − 20 = 0 → x² − 3x − 18 = 0
  2. a = 1, b = −3, c = −18
  3. D = (−3)² − 4 · 1 · (−18) = 9 + 72 = 81
  4. x1,2 = (3 ± √81) / 2 = (3 ± 9) / 2
  5. x₁ = 12/2 = 6, x₂ = −6/2 = −3
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Vrchol pre kontrolu:
    • xv = 3/2 = 1,5 = stred medzi −3 a 6 ✓
✓ Kontrola: 36 − 18 + 2 = 20 ✓; 9 + 9 + 2 = 20 ✓
Výsledok: x = 6 alebo x = −3
Príklad 23Stredný
Riešte rovnicu 2x² + 4x + 2 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: D = 0 → rovnica má jeden (dvojnásobný) koreň x = −1.
Riešenie:
  1. vydelíme celú rovnicu číslom 2: x² + 2x + 1 = 0
  2. ľavá strana je štvorec: x² + 2x + 1 = (x + 1)²
  3. (x + 1)² = 0 → x + 1 = 0 → x = −1
  4. (diskriminantom: D = 4 − 4 = 0 → jeden koreň)
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Súvis s diskriminantom:
    • D = 0 → jeden (dvojnásobný) koreň → dotyk, nie pretnutie
Výsledok: x = −1 (dvojnásobný koreň)
Príklad 24Stredný
Riešte rovnicu 2x² + 4x + 6 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: D < 0 → odmocnina zo záporného čísla neexistuje → rovnica nemá reálny koreň.
Riešenie:
  1. vydelíme 2: x² + 2x + 3 = 0
  2. D = 2² − 4 · 1 · 3 = 4 − 12 = −8
  3. D < 0 → z čísla −8 nevieme v reálnych číslach odmocniť
  4. (rozšírenie: v komplexných číslach x = −1 ± i√2)
Výsledok: nemá reálne riešenie (D = −8 < 0)
Príklad 25Ľahký
Riešte rovnicu x² − 16 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: ak v rovnici chýba člen s x (b = 0), stačí osamostatniť x² a odmocniť — riešenia sú dve.
Riešenie:
  1. x² = 16
  2. x = 4 alebo x = −4
✓ Kontrola: 4² − 16 = 0 ✓; (−4)² − 16 = 0 ✓
Výsledok: x = 4 alebo x = −4
Príklad 26Stredný
Riešte rovnicu x² − 4x = 0.
💡 Najprv si uvedomte: ak chýba samotné číslo (c = 0), vyberieme x pred zátvorku — jedným koreňom je vždy 0.
Riešenie:
  1. vyberieme x pred zátvorku: x · (x − 4) = 0
  2. súčin je 0, ak je aspoň jeden činiteľ 0: x = 0 alebo x − 4 = 0
  3. x = 0 alebo x = 4
  4. (diskriminantom: a = 1, b = −4, c = 0, D = 16, x = (4 ± 4)/2 → 0 a 4)
✓ Kontrola: 0 − 0 = 0 ✓; 16 − 16 = 0 ✓
Výsledok: x = 0 alebo x = 4
Príklad 27Ľahký
Riešte rovnicu x² + 6x + 9 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: D = 0 → jediný koreň; ľavá strana je štvorec (x + 3)².
Riešenie:
  1. a = 1, b = 6, c = 9
  2. D = 6² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0
  3. x = −6 / 2 = −3
✓ Kontrola: 9 − 18 + 9 = 0 ✓
Výsledok: x = −3 (jeden dvojnásobný koreň)
Príklad 28Stredný
Riešte rovnicu 2x² − 8x + 6 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: ak sú všetky čísla deliteľné rovnakým číslom, najprv vydeľte — počíta sa jednoduchšie a korene sa nezmenia.
Riešenie:
  1. vydelíme celú rovnicu 2: x² − 4x + 3 = 0
  2. D = (−4)² − 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4
  3. x = (4 ± 2) / 2 → x₁ = 1, x₂ = 3
✓ Kontrola: 2 − 8 + 6 = 0 ✓; 18 − 24 + 6 = 0 ✓
Výsledok: x = 1 alebo x = 3
E. Kvadratické rovnice — riešenie diskriminantom (z prezentácie Lineárna a kvadratická funkcia)
Príklad 29Ľahký
Riešte rovnicu x² − 4x + 3 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: b = −4, preto vo vzorci −b = −(−4) = +4.
Riešenie:
  1. a = 1, b = −4, c = 3
  2. D = (−4)² − 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4
  3. x1,2 = −(−4) ± √42 · 1 = 4 ± 22
  4. x₁ = 4 − 22 = 1,   x₂ = 4 + 22 = 3
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Prečo dva korene?
    • D = 4 > 0 → √D = 2 je kladné číslo
    • raz ho pripočítame, raz odpočítame → dve rôzne čísla
✓ Kontrola: 1 − 4 + 3 = 0 ✓; 9 − 12 + 3 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 1, x₂ = 3
Príklad 30Stredný
Riešte rovnicu −2x² + 8x − 6 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: a je záporné. Pozor na znamienka: −4 · (−2) · (−6) = −48 a menovateľ 2a = −4.
Riešenie:
  1. a = −2, b = 8, c = −6
  2. D = 8² − 4 · (−2) · (−6) = 64 − 48 = 16
  3. x1,2 = −8 ± √162 · (−2) = −8 ± 4−4
  4. x₁ = −8 + 4−4 = −4−4 = 1,   x₂ = −8 − 4−4 = −12−4 = 3
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Jednoduchšia cesta:
    • celú rovnicu vydelíme číslom −2: x² − 4x + 3 = 0
    • delenie nenulovým číslom riešenia nemení → rovnaké korene 1 a 3 ako v predchádzajúcom príklade
✓ Kontrola: −2 + 8 − 6 = 0 ✓; −18 + 24 − 6 = 0 ✓
Výsledok: x₁ = 1, x₂ = 3
Príklad 31Stredný
Riešte rovnicu x² + 2x + 5 = 0.
💡 Najprv si uvedomte: Ak vyjde D záporné, odmocnina v reálnych číslach neexistuje.
Riešenie:
  1. a = 1, b = 2, c = 5
  2. D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16
  3. D < 0 → žiadne reálne korene
  4. (v komplexných číslach: x = −2 ± 4i2 = −1 ± 2i)
🔎 Prečo to tak je? — postup krok za krokom
  1. Prečo nemá reálne riešenie?
    • vo vzorci by sme potrebovali √−16 — žiadne reálne číslo umocnené na druhú nedá záporné číslo
Výsledok: v ℝ nemá riešenie (D = −16 < 0)
Blok 2 / 2Definičný obor na číselnej osi⏱ 120 min
A. Zlomok — menovateľ ≠ 0 (z prezentácie)
Príklad 1Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = 1x − 3.
💡 Najprv si uvedomte: Zlomok → hľadáme iba číslo, pre ktoré by bol menovateľ nulový, a to vylúčime.
Podmienky a riešenie:
  1. menovateľ: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • zlomok: menovateľ nesmie byť nula → x − 3 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x − 3 = 0 ⟹ x = 3 → zakázané číslo
  3. Spojte podmienky:
    • všetky reálne čísla okrem 3
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 3: 1/0 — delenie nulou ✗
    • x = 5: 1/2 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ℝ ∖ {3} = (−∞; 3) ∪ (3; ∞)
Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {3} = (−∞; 3) ∪ (3; ∞)
Príklad 2Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = x + 2x² − 4.
💡 Najprv si uvedomte: Čitateľ nás nezaujíma — zakázané sú iba čísla, pre ktoré je menovateľ nula. Pri x² = 4 sú dve riešenia.
Podmienky a riešenie:
  1. menovateľ: x² − 4 ≠ 0 → x² ≠ 4 → x ≠ 2 a x ≠ −2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • menovateľ: x² − 4 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x² − 4 = 0 ⟹ x² = 4 ⟹ x = 2 alebo x = −2 (lebo aj (−2)² = 4)
  3. Spojte podmienky:
    • vylúčime obe čísla −2 aj 2
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −2: (−2)² − 4 = 0 ✗
    • x = 2: 4 − 4 = 0 ✗
    • x = 0: 2 / (−4) ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ℝ ∖ {−2; 2} = (−∞; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; ∞)
Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {−2; 2} = (−∞; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; ∞)
Príklad 3Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = 1(x − 1)(x + 5).
💡 Najprv si uvedomte: Súčin je nula, ak je nula aspoň jeden činiteľ — preto kontrolujeme každú zátvorku zvlášť.
Podmienky a riešenie:
  1. (x − 1)(x + 5) ≠ 0 → x ≠ 1 a x ≠ −5
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • menovateľ: (x − 1)(x + 5) ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x − 1 = 0 ⟹ x = 1
    • x + 5 = 0 ⟹ x = −5
  3. Spojte podmienky:
    • vylúčime 1 aj −5
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 1: 0 · 6 = 0 ✗
    • x = −5: (−6) · 0 = 0 ✗
    • x = 0: 1 / (−5) ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ℝ ∖ {−5; 1} = (−∞; −5) ∪ (−5; 1) ∪ (1; ∞)
Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {−5; 1} = (−∞; −5) ∪ (−5; 1) ∪ (1; ∞)
Príklad 4Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = x² + 1x² − x.
💡 Najprv si uvedomte: Menovateľ x² − x rozložíme vybratím x pred zátvorku: x(x − 1).
Podmienky a riešenie:
  1. x² − x ≠ 0 → x(x − 1) ≠ 0 → x ≠ 0 a x ≠ 1
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • menovateľ: x² − x ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x² − x = x(x − 1) = 0 ⟹ x = 0 alebo x − 1 = 0, teda x = 1
  3. Spojte podmienky:
    • vylúčime 0 aj 1
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 0: 0 − 0 = 0 ✗
    • x = 1: 1 − 1 = 0 ✗
    • x = 2: 5 / 2 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ℝ ∖ {0; 1} = (−∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; ∞)
Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {0; 1} = (−∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; ∞)
Príklad 5Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = 2x + 1x² + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Ak menovateľ nemôže byť nikdy nula, nič nevylučujeme.
Podmienky a riešenie:
  1. x² + 4 = 0 → x² = −4 — nemá riešenie
  2. x² ≥ 0, preto x² + 4 ≥ 4 > 0 pre všetky x
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • menovateľ: x² + 4 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x² + 4 = 0 ⟹ x² = −4 — žiadne reálne číslo na druhú nie je záporné
  3. Spojte podmienky:
    • menovateľ nikdy nie je nula → žiadne zakázané číslo
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 0: menovateľ 4 ✓
    • x = −3: menovateľ 13 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ℝ = (−∞; ∞)
Výsledok: D(f) = ℝ = (−∞; ∞)
B. Odmocnina — výraz pod odmocninou ≥ 0 (z prezentácií)
Príklad 6Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = √2x − 6.
💡 Najprv si uvedomte: Pod odmocninou nesmie byť záporné číslo; nula je dovolená (√0 = 0).
Podmienky a riešenie:
  1. I. podmienka: 2x − 6 ≥ 0
  2. II. riešenie: 2x ≥ 6 → x ≥ 3
  3. III. záver: od 3 vrátane až po nekonečno
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: 2x − 6 ≥ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • 2x − 6 ≥ 0  | +6 → 2x ≥ 6  | : 2 → x ≥ 3
  3. Spojte podmienky:
    • jediná podmienka → x ≥ 3, číslo 3 patrí (plný krúžok)
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 3: √0 = 0 ✓
    • x = 2: √(−2) ✗
    • x = 5: √4 = 2 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ⟨3; ∞)
Výsledok: D(f) = ⟨3; ∞)
Príklad 7Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = √5 − x.
💡 Najprv si uvedomte: Pri presune x na pravú stranu netreba deliť záporným číslom — znak nerovnosti zostane.
Podmienky a riešenie:
  1. 5 − x ≥ 0
  2. presunieme x na pravú stranu: 5 ≥ x → x ≤ 5
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: 5 − x ≥ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • 5 − x ≥ 0 ⟹ 5 ≥ x ⟹ x ≤ 5
    • (alebo: −x ≥ −5 | · (−1) → x ≤ 5 — znak sa otočí)
  3. Spojte podmienky:
    • všetky čísla menšie alebo rovné 5
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 5: √0 ✓
    • x = 6: √(−1) ✗
    • x = 0: √5 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; 5⟩
Výsledok: D(f) = (−∞; 5⟩
Príklad 8Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x − 3.
💡 Najprv si uvedomte: Nula pod odmocninou je dovolená, preto 3 patrí do D(f) — zátvorka ⟨.
Podmienky a riešenie:
  1. x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x − 3 ≥ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x ≥ 3
  3. Spojte podmienky:
    • číslo 3 patrí → plný krúžok, zátvorka ⟨
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 3: √0 = 0 ✓
    • x = 2: √(−1) ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = ⟨3; ∞)
Výsledok: D(f) = ⟨3; ∞)
Príklad 9Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = √2x + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Riešime nerovnicu ako rovnicu — iba so znakom ≥.
Podmienky a riešenie:
  1. 2x + 4 ≥ 0 → 2x ≥ −4 → x ≥ −2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: 2x + 4 ≥ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • 2x ≥ −4  | : 2 (kladné číslo, znak sa nemení) → x ≥ −2
  3. Spojte podmienky:
    • od −2 vrátane
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −2: √0 ✓
    • x = −3: √(−2) ✗
    • x = 0: √4 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ⟨−2; ∞)
Výsledok: D(f) = ⟨−2; ∞)
Príklad 10Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √−x² + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Pred x² je záporné číslo — výraz −x² + 4 je kladný medzi nulovými bodmi (test x = 0: 4 ≥ 0 ✓).
Podmienky a riešenie:
  1. −x² + 4 ≥ 0 → x² ≤ 4 → −2 ≤ x ≤ 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: −x² + 4 ≥ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • nulové body: −x² + 4 = 0 ⟹ x² = 4 ⟹ x = −2 alebo x = 2
    • test: x = 0 → 4 ≥ 0 ✓, x = 3 → −5 ✗ → vyhovuje úsek medzi −2 a 2
  3. Spojte podmienky:
    • povolené sú čísla od −2 po 2 vrátane
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 0: √4 ✓
    • x = 3: √(−5) ✗
    • x = ±2: √0 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ⟨−2; 2⟩
Výsledok: D(f) = ⟨−2; 2⟩
Príklad 11Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 4.
💡 Najprv si uvedomte: x² ≥ 4 neznamená len x ≥ 2 — aj záporné čísla ako −3 dajú po umocnení viac ako 4.
Podmienky a riešenie:
  1. x² − 4 ≥ 0 → x² ≥ 4 → x ≤ −2 alebo x ≥ 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x² − 4 ≥ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • nulové body: x² = 4 ⟹ x = −2 alebo x = 2
    • test: x = 0 → −4 ✗, x = 3 → 5 ✓ → vyhovuje mimo nulových bodov
  3. Spojte podmienky:
    • dve oddelené časti: (−∞; −2⟩ a ⟨2; ∞)
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −3: √5 ✓
    • x = 0: √(−4) ✗
    • x = 3: √5 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −2⟩ ∪ ⟨2; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −2⟩ ∪ ⟨2; ∞)
Príklad 12Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 5x + 6.
💡 Najprv si uvedomte: Kvadratický trojčlen rozložíme na súčin: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Podmienky a riešenie:
  1. x² − 5x + 6 ≥ 0 → (x − 2)(x − 3) ≥ 0
  2. korene x = 2 a x = 3
  3. výraz s kladným číslom pred x² je kladný mimo intervalu medzi koreňmi (overte testom)
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x² − 5x + 6 ≥ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • rozklad: (x − 2)(x − 3) ≥ 0 → nulové body 2 a 3
    • test intervalov: x = 0 → 6 > 0 ✓, x = 2,5 → −0,25 ✗, x = 4 → 2 > 0 ✓ → kladné vľavo od 2 a vpravo od 3
  3. Spojte podmienky:
    • x ≤ 2 alebo x ≥ 3
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 0: √6 ✓
    • x = 2,5: 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 ✗
    • x = 4: √2 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; 2⟩ ∪ ⟨3; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; 2⟩ ∪ ⟨3; ∞)
C. Odmocnina a zlomok spolu (z prezentácie Funkcie)
Príklad 13Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 4x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Dve podmienky musia platiť súčasne: odmocnina ≥ 0 a menovateľ ≠ 0.
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: x² − 4 ≥ 0 → x ≤ −2 alebo x ≥ 2
  2. menovateľ: x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1
  3. číslo 1 aj tak nepatrí (−2 < 1 < 2) → nič navyše nevylučujeme
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x² − 4 ≥ 0
    • menovateľ: x − 1 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x² ≥ 4 ⟹ x ≤ −2 alebo x ≥ 2
    • x ≠ 1
  3. Spojte podmienky:
    • 1 leží medzi −2 a 2 → už je vylúčené odmocninou
    • výsledok určuje iba odmocnina
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 1: √(−3) ✗ (aj tak nevyhovuje)
    • x = 2: √0 / 1 = 0 ✓
    • x = −3: √5 / (−4) ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −2⟩ ∪ ⟨2; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −2⟩ ∪ ⟨2; ∞)
Príklad 14Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 9x + 2.
💡 Najprv si uvedomte: Najprv odmocnina, potom skontrolujeme, či zakázané číslo z menovateľa leží v povolenej časti.
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: x² − 9 ≥ 0 → x ≤ −3 alebo x ≥ 3
  2. menovateľ: x + 2 ≠ 0 → x ≠ −2
  3. −2 leží medzi −3 a 3 → aj tak nepatrí
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x² − 9 ≥ 0
    • menovateľ: x + 2 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x² ≥ 9 ⟹ x ≤ −3 alebo x ≥ 3
    • x ≠ −2
  3. Spojte podmienky:
    • −2 je vylúčené už odmocninou → stačí výsledok odmocniny
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −2: √(−5) ✗
    • x = 3: 0 / 5 = 0 ✓
    • x = −4: √7 / (−2) ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −3⟩ ∪ ⟨3; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −3⟩ ∪ ⟨3; ∞)
Príklad 15Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 16x − 4.
💡 Najprv si uvedomte: Tentoraz zakázané číslo 4 leží v povolenej časti — musíme ho vylúčiť a zátvorka sa zmení.
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: x² − 16 ≥ 0 → x ≤ −4 alebo x ≥ 4
  2. menovateľ: x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4
  3. vylúčime 4 z intervalu ⟨4; ∞) → (4; ∞)
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x² − 16 ≥ 0
    • menovateľ: x − 4 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x² ≥ 16 ⟹ x ≤ −4 alebo x ≥ 4
    • x ≠ 4
  3. Spojte podmienky:
    • z odmocniny: (−∞; −4⟩ ∪ ⟨4; ∞)
    • z menovateľa vylúčime x = 4 → pri 4 prázdny krúžok
    • −4 zostáva (menovateľ −8 ≠ 0)
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 4: √0 / 0 — delenie nulou ✗
    • x = −4: 0 / (−8) = 0 ✓
    • x = 5: 3 / 1 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −4⟩ ∪ (4; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −4⟩ ∪ (4; ∞)
Príklad 16Náročný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 4xx² − 9.
💡 Najprv si uvedomte: Výraz x² − 4x = x(x − 4) má nulové body 0 a 4 — otestovaním intervalov zistíme, že je nezáporný mimo koreňov, teda aj pre záporné x.
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: x(x − 4) ≥ 0 → x ≤ 0 alebo x ≥ 4
  2. menovateľ: x² − 9 ≠ 0 → x ≠ 3 a x ≠ −3
  3. 3 je aj tak mimo, ale −3 leží v (−∞; 0⟩ → vylúčime ho
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x² − 4x ≥ 0
    • menovateľ: x² − 9 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x(x − 4) ≥ 0: nulové body 0 a 4; test x = −1: (−1)(−5) = 5 ✓, x = 2: 2 · (−2) = −4 ✗, x = 5: 5 · 1 = 5 ✓ → x ≤ 0 alebo x ≥ 4
    • x² ≠ 9 ⟹ x ≠ 3 a x ≠ −3
  3. Spojte podmienky:
    • z odmocniny: (−∞; 0⟩ ∪ ⟨4; ∞)
    • 3 leží medzi 0 a 4 → už vylúčené
    • −3 leží v (−∞; 0⟩ → treba ho „vyhodiť“ → interval sa rozdelí
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −3: √21 / 0 ✗
    • x = −1: √5 / (−8) ✓
    • x = 0: 0 / (−9) = 0 ✓
    • x = 2: √(−4) ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −3) ∪ (−3; 0⟩ ∪ ⟨4; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −3) ∪ (−3; 0⟩ ∪ ⟨4; ∞)
D. Logaritmus — výraz v logaritme > 0 (z prezentácií)
Príklad 17Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (x − 1).
💡 Najprv si uvedomte: Logaritmus existuje iba z kladného čísla — nula už nestačí.
Podmienky a riešenie:
  1. x − 1 > 0 → x > 1
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: x − 1 > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x > 1
  3. Spojte podmienky:
    • číslo 1 nepatrí (log 0 neexistuje) → prázdny krúžok
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 1: log 0 ✗
    • x = 2: log 1 = 0 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (1; ∞)
Výsledok: D(f) = (1; ∞)
Príklad 18Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (x − 2).
💡 Najprv si uvedomte: Ostrá nerovnosť > → krajný bod nepatrí, zátvorka (.
Podmienky a riešenie:
  1. x − 2 > 0 → x > 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: x − 2 > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x > 2
  3. Spojte podmienky:
    • 2 nepatrí
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 2: log 0 ✗
    • x = 12: log 10 = 1 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (2; ∞)
Výsledok: D(f) = (2; ∞)
Príklad 19Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (3x + 6).
💡 Najprv si uvedomte: Riešime nerovnicu 3x + 6 > 0 — delíme kladným číslom 3, znak sa nemení.
Podmienky a riešenie:
  1. 3x + 6 > 0 → 3x > −6 → x > −2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: 3x + 6 > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • 3x > −6 ⟹ x > −2
  3. Spojte podmienky:
    • −2 nepatrí
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −2: log 0 ✗
    • x = 0: log 6 ✓
    • x = −3: log (−3) ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−2; ∞)
Výsledok: D(f) = (−2; ∞)
Príklad 20Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (−x + 5).
💡 Najprv si uvedomte: Pri presune x doprava znak nerovnosti zostáva: 5 > x.
Podmienky a riešenie:
  1. −x + 5 > 0 → 5 > x → x < 5
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: −x + 5 > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • 5 > x ⟹ x < 5
  3. Spojte podmienky:
    • všetky čísla menšie ako 5
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 5: log 0 ✗
    • x = 4: log 1 = 0 ✓
    • x = 6: log (−1) ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; 5)
Výsledok: D(f) = (−∞; 5)
Príklad 21Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (x² − 4).
💡 Najprv si uvedomte: x² − 4 má nulové body −2 a 2 — kladný je mimo nich (test x = 3: 5 > 0, x = 0: −4 < 0). Krajné body nepatria (> 0).
Podmienky a riešenie:
  1. x² − 4 > 0 → x < −2 alebo x > 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: x² − 4 > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • nulové body ±2; test x = 0 → −4 ✗, x = 3 → 5 ✓ → kladné mimo nulových bodov
  3. Spojte podmienky:
    • dve časti, krajné body nepatria
  4. Otestujte dosadením:
    • x = ±2: log 0 ✗
    • x = 0: log (−4) ✗
    • x = 3: log 5 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −2) ∪ (2; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −2) ∪ (2; ∞)
Príklad 22Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log ((x − 1)(x + 3)).
💡 Najprv si uvedomte: Súčin dvoch čísel je kladný, keď majú obe rovnaké znamienko.
Podmienky a riešenie:
  1. (x − 1)(x + 3) > 0
  2. nulové body: x = 1, x = −3
  3. znamienka: x < −3 kladné, −3 < x < 1 záporné, x > 1 kladné
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: (x − 1)(x + 3) > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • nulové body −3 a 1 rozdelia os na 3 intervaly
    • x = −4: (−5)(−1) = 5 > 0 ✓
    • x = 0: (−1)(3) = −3 < 0 ✗
    • x = 2: (1)(5) = 5 > 0 ✓
  3. Spojte podmienky:
    • vyhovujú krajné intervaly
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 1: log 0 ✗
    • x = −4: log 5 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −3) ∪ (1; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −3) ∪ (1; ∞)
Príklad 23Náročný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log 2 + x2 − x.
💡 Najprv si uvedomte: Zlomok je kladný, keď čitateľ aj menovateľ majú rovnaké znamienko (oba + alebo oba −).
Podmienky a riešenie:
  1. 2 + x2 − x > 0
  2. prípad 1: 2 + x > 0 a 2 − x > 0 → x > −2 a x < 2 → −2 < x < 2
  3. prípad 2: 2 + x < 0 a 2 − x < 0 → x < −2 a x > 2 — nemožné
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: (2 + x)/(2 − x) > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • nulové body: čitateľ x = −2, menovateľ x = 2
    • x = −3: (−1)/(5) < 0 ✗
    • x = 0: 2/2 = 1 > 0 ✓
    • x = 3: 5/(−1) < 0 ✗
  3. Spojte podmienky:
    • vyhovuje iba stredný interval
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 0: log 1 = 0 ✓
    • x = 2: delenie nulou ✗
    • x = −2: log 0 ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−2; 2)
Výsledok: D(f) = (−2; 2)
Príklad 24Náročný
Určte definičný obor funkcie f(x) = ln x − 1x + 3.
💡 Najprv si uvedomte: ln je tiež logaritmus (so základom e) — platí rovnaká podmienka: argument > 0.
Podmienky a riešenie:
  1. x − 1x + 3 > 0
  2. prípad 1: x − 1 > 0 a x + 3 > 0 → x > 1
  3. prípad 2: x − 1 < 0 a x + 3 < 0 → x < −3
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: (x − 1)/(x + 3) > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • nulové body: 1 (čitateľ), −3 (menovateľ)
    • x = −4: (−5)/(−1) = 5 ✓
    • x = 0: (−1)/3 ✗
    • x = 2: 1/5 ✓
  3. Spojte podmienky:
    • spojíme prípady: x < −3 alebo x > 1
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −3: delenie nulou ✗
    • x = 1: ln 0 ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −3) ∪ (1; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −3) ∪ (1; ∞)
E. Kombinácie podmienok (z prezentácie Lineárna a kvadratická funkcia)
Príklad 25Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = 1√x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Odmocnina v menovateli: musí byť ≥ 0 (odmocnina) a zároveň ≠ 0 (menovateľ) → spolu > 0.
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
  2. menovateľ: √(x − 1) ≠ 0 → x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1
  3. spolu: x > 1
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x − 1 ≥ 0
    • menovateľ: √(x − 1) ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x ≥ 1
    • x ≠ 1
  3. Spojte podmienky:
    • z ⟨1; ∞) vylúčime 1 → (1; ∞)
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 1: 1/√0 = 1/0 ✗
    • x = 5: 1/2 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (1; ∞)
Výsledok: D(f) = (1; ∞)
Príklad 26Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (x + 2)x² − 9.
💡 Najprv si uvedomte: Logaritmus dá interval, menovateľ zakáže čísla ±3 — skontrolujeme, ktoré z nich ležia v intervale.
Podmienky a riešenie:
  1. logaritmus: x + 2 > 0 → x > −2
  2. menovateľ: x² − 9 ≠ 0 → x ≠ ±3
  3. −3 je mimo (−3 < −2), 3 leží vnútri → vylúčime 3
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: x + 2 > 0
    • menovateľ: x² − 9 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x > −2
    • x² ≠ 9 ⟹ x ≠ 3 a x ≠ −3
  3. Spojte podmienky:
    • povolené (−2; ∞), z toho vyhodíme 3 → (−2; 3) ∪ (3; ∞)
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 3: menovateľ 0 ✗
    • x = 0: log 2 / (−9) ✓
    • x = −2: log 0 ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−2; 3) ∪ (3; ∞)
Výsledok: D(f) = (−2; 3) ∪ (3; ∞)
Príklad 27Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 4 + 1x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Funkcia je súčet dvoch častí — každá musí existovať.
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: x² − 4 ≥ 0 → x ≤ −2 alebo x ≥ 2
  2. zlomok: x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1
  3. 1 leží medzi −2 a 2 → už vylúčené odmocninou
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x² − 4 ≥ 0
    • zlomok: x − 1 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x ≤ −2 alebo x ≥ 2
    • x ≠ 1
  3. Spojte podmienky:
    • podmienka x ≠ 1 nič nemení
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 2: √0 + 1/1 = 1 ✓
    • x = 1: √(−3) ✗
    • x = −2: 0 + 1/(−3) ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −2⟩ ∪ ⟨2; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −2⟩ ∪ ⟨2; ∞)
Príklad 28Náročný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log x − 1x + 4.
💡 Najprv si uvedomte: Zlomok je kladný, keď čitateľ aj menovateľ majú rovnaké znamienko.
Podmienky a riešenie:
  1. x − 1x + 4 > 0
  2. x − 1 > 0 a x + 4 > 0 → x > 1
  3. x − 1 < 0 a x + 4 < 0 → x < −4
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: (x − 1)/(x + 4) > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • nulové body 1 a −4
    • x = −5: (−6)/(−1) = 6 ✓
    • x = 0: −1/4 ✗
    • x = 2: 1/6 ✓
  3. Spojte podmienky:
    • x < −4 alebo x > 1
  4. Otestujte dosadením:
    • x = −4: delenie nulou ✗
    • x = 1: log 0 ✗
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −4) ∪ (1; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −4) ∪ (1; ∞)
Príklad 29Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x + 2 + log (x − 1).
💡 Najprv si uvedomte: Obe podmienky musia platiť súčasne — výsledok je prienik (spoločná časť).
Podmienky a riešenie:
  1. odmocnina: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2
  2. logaritmus: x − 1 > 0 → x > 1
  3. súčasne: x ≥ −2 a zároveň x > 1 → x > 1
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x + 2 ≥ 0
    • logaritmus: x − 1 > 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x ≥ −2
    • x > 1
  3. Spojte podmienky:
    • na číselnej osi hľadáme časť, kde platia obe → od 1 (bez 1) doprava
  4. Otestujte dosadením:
    • x = 0: √2 + log (−1) ✗
    • x = 2: √4 + log 1 = 2 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (1; ∞)
Výsledok: D(f) = (1; ∞)
F. Zmiešané príklady z cvičenia
📌 Pri každom príklade: 1) vypíšte všetky podmienky, 2) každú vyriešte, 3) nakreslite si číselnú os, 4) vyberte čísla, ktoré spĺňajú všetky podmienky naraz.
Príklad 30Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = 1√x − 2.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo 2 by spĺňalo podmienku odmocniny (√0 = 0), ale potom by sme delili nulou. Preto okrúhla zátvorka.
Podmienky:
  1. odmocnina: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
  2. odmocnina je v menovateli, nesmie byť 0: √x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2
  3. spolu: x ≥ 2 a zároveň x ≠ 2 → x > 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: výraz pod ňou nesmie byť záporný → x − 2 ≥ 0
    • odmocnina je v menovateli → nesmie byť nula → √x − 2 ≠ 0
  2. Spojte podmienky:
    • „≥ 0“ a zároveň „≠ 0“ znamená spolu „> 0“ → x − 2 > 0
  3. Nájdite nulový bod:
    • x − 2 = 0 ⟹ x = 2 → rozdelí os na (−∞; 2) a (2; ∞)
  4. Otestujte intervaly:
    • (−∞; 2), napr. x = 0: 0 − 2 = −2 → záporné − ✗ (√−2 neexistuje)
    • (2; ∞), napr. x = 3: 3 − 2 = 1 → kladné + ✓ (1√1 = 1)
    • bod x = 2: 1√0 = 10 → delenie nulou ✗ → prázdny krúžok
  5. Výsledok a čítanie osi:
    • zelená časť osi = povolené x, začína tesne za 2 a pokračuje do nekonečna
    • D(f) = (2; ∞)
Výsledok: D(f) = (2; ∞)
Príklad 31Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (x − 1)x² − 4.
💡 Najprv si uvedomte: Začíname od 1 (bez 1) a „vyhodíme“ číslo 2 — interval sa v ňom rozdelí na dve časti.
Podmienky:
  1. logaritmus: x − 1 > 0 → x > 1
  2. menovateľ: x² − 4 ≠ 0 → x² ≠ 4 → x ≠ 2 a x ≠ −2
  3. −2 je aj tak mimo (nie je väčšie ako 1), vylúčime teda iba 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus: výraz v ňom musí byť kladný → x − 1 > 0
    • zlomok: menovateľ nesmie byť nula → x² − 4 ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x − 1 > 0 ⟹ x > 1
    • x² − 4 = 0 ⟹ x² = 4 ⟹ x = 2 alebo x = −2 → tieto dve čísla sú zakázané
  3. Spojte podmienky na číselnej osi:
    • povolené sú čísla väčšie ako 1
    • −2 leží mimo (je menšie ako 1) → netreba ho riešiť
    • 2 leží vnútri povolenej časti → musíme ho „vyhodiť“ → interval sa rozdelí na dve časti
  4. Otestujte:
    • x = 0: log(−1) neexistuje ✗
    • x = 1,5: log 0,5 existuje, menovateľ 2,25 − 4 = −1,75 ≠ 0 ✓
    • x = 2: menovateľ 4 − 4 = 0 ✗
    • x = 5: log 4 existuje, menovateľ 21 ≠ 0 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (1; 2) ∪ (2; ∞) — prázdne krúžky pri 1 aj pri 2
Výsledok: D(f) = (1; 2) ∪ (2; ∞)
Príklad 32Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x² − 9.
💡 Najprv si uvedomte: Medzi −3 a 3 je x² − 9 záporné, napr. pre x = 0: 0 − 9 = −9 a √−9 neexistuje.
Podmienka a riešenie:
  1. odmocnina: x² − 9 ≥ 0
  2. nulové body: x² = 9 → x = −3 alebo x = 3
  3. test: x = −4 → 7 ✓, x = 0 → −9 ✗, x = 4 → 7 ✓ → vyhovuje vľavo od −3 a vpravo od 3
  4. x ≤ −3 alebo x ≥ 3
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienku:
    • výraz pod odmocninou nesmie byť záporný: x² − 9 ≥ 0
  2. Nájdite nulové body:
    • x² − 9 = 0 ⟹ x² = 9 ⟹ x = −3 alebo x = 3
  3. Rozdeľte os na intervaly:
    • (−∞; −3), (−3; 3), (3; ∞)
  4. Otestujte znamienko v každom intervale:
    • (−∞; −3), napr. x = −4: 16 − 9 = 7 → + ✓
    • (−3; 3), napr. x = 0: 0 − 9 = −9 → − ✗
    • (3; ∞), napr. x = 4: 16 − 9 = 7 → + ✓
    • body −3 a 3: výraz = 0, √0 = 0 existuje → patria ✓ (plné krúžky)
  5. Výsledok:
    • tam, kde vyšlo plus, a nulové body: D(f) = (−∞; −3⟩ ∪ ⟨3; ∞)
✓ Kontrola: x = 4: √16 − 9 = √7 ✓; x = 0: √−9 ✗
Výsledok: D(f) = (−∞; −3⟩ ∪ ⟨3; ∞)
Príklad 33Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (x − 2x + 1).
💡 Najprv si uvedomte: Zlomok je kladný, keď čitateľ aj menovateľ majú rovnaké znamienko.
Podmienka a riešenie:
  1. logaritmus: x − 2x + 1 > 0
  2. nulové body čitateľa a menovateľa: x = 2, x = −1
  3. tabuľka znamienok (pozri teóriu): (−∞; −1) → +, (−1; 2) → −, (2; ∞) → +
  4. x < −1 alebo x > 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Úvaha — kedy je zlomok kladný:
    • logaritmus vyžaduje kladný argument → x − 2x + 1 > 0
    • zlomok je kladný v dvoch prípadoch: oba výrazy kladné (+) : (+), alebo oba záporné (−) : (−)
    • preto vyšetríme znamienko celého zlomku tabuľkou znamienok
  2. Určte podmienku menovateľa:
    • x + 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ −1
  3. Nájdite nulové body:
    • čitateľ: x − 2 = 0 ⟹ x = 2
    • menovateľ: x + 1 = 0 ⟹ x = −1
  4. Rozdeľte os na intervaly:
    • (−∞; −1), (−1; 2), (2; ∞)
  5. Otestujte znamienka:
    • (−∞; −1), x = −2: čitateľ −4 (−), menovateľ −1 (−) → (−) : (−) = + ✓
    • (−1; 2), x = 0: čitateľ −2 (−), menovateľ 1 (+) → (−) : (+) = − ✗
    • (2; ∞), x = 3: čitateľ 1 (+), menovateľ 4 (+) → (+) : (+) = + ✓
  6. Výsledok:
    • hľadáme plus; body −1 a 2 nepatria (−1 → delenie nulou, 2 → log 0)
    • D(f) = (−∞; −1) ∪ (2; ∞)
✓ Kontrola: x = 3: 14 > 0 ✓; x = 0: −21 < 0 ✗
Výsledok: D(f) = (−∞; −1) ∪ (2; ∞)
Príklad 34Náročný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x + 3log (x − 1).
💡 Najprv si uvedomte: Podmienka x ≥ −3 je splnená automaticky, keď x > 1. Pozor na log 1 = 0 — pri x = 2 by sme delili nulou.
Podmienky:
  1. odmocnina: x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3
  2. logaritmus: x − 1 > 0 → x > 1
  3. logaritmus je v menovateli → nesmie byť 0: log (x − 1) ≠ 0 → x − 1 ≠ 1 → x ≠ 2
  4. spolu: x > 1 a x ≠ 2
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte všetky podmienky:
    • odmocnina v čitateli: x + 3 ≥ 0
    • logaritmus: x − 1 > 0
    • logaritmus je v menovateli → nesmie byť 0: log(x − 1) ≠ 0
  2. Vyriešte každú podmienku:
    • x + 3 ≥ 0 ⟹ x ≥ −3
    • x − 1 > 0 ⟹ x > 1
    • log(x − 1) = 0 práve vtedy, keď x − 1 = 1 (lebo log 1 = 0) ⟹ x = 2 → zakázané
  3. Spojte podmienky (prienik — musia platiť všetky naraz):
    • x > 1 je prísnejšie ako x ≥ −3 → stačí x > 1
    • z toho vyhodíme x = 2
  4. Otestujte:
    • x = 0: log(−1) neexistuje ✗
    • x = 1,5: √4,5log 0,5 — log 0,5 ≠ 0 ✓
    • x = 2: √5log 1 = √50 ✗
    • x = 5: √8log 4 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (1; 2) ∪ (2; ∞)
Výsledok: D(f) = (1; 2) ∪ (2; ∞)
Príklad 35Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = 1√x² − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Čísla −1 a 1 nepatria — dali by √0 = 0 v menovateli.
Podmienka a riešenie:
  1. odmocnina v menovateli → x² − 1 > 0 (ostro, nesmie byť 0)
  2. nulové body: x = −1, x = 1; test x = 0 → −1 ✗, x = 2 → 3 ✓ → kladné mimo nulových bodov
  3. x < −1 alebo x > 1
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienku:
    • odmocnina v menovateli → výraz pod ňou musí byť kladný (nie 0): x² − 1 > 0
  2. Nájdite nulové body:
    • x² − 1 = 0 ⟹ x² = 1 ⟹ x = −1 alebo x = 1
  3. Rozdeľte os na intervaly:
    • (−∞; −1), (−1; 1), (1; ∞)
  4. Otestujte znamienko:
    • x = −2: 4 − 1 = 3 → + ✓
    • x = 0: 0 − 1 = −1 → − ✗
    • x = 2: 4 − 1 = 3 → + ✓
    • body −1 a 1: výraz = 0 → 1√0 = 10 ✗ (prázdne krúžky)
  5. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −1) ∪ (1; ∞)
Výsledok: D(f) = (−∞; −1) ∪ (1; ∞)
Príklad 36Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log √x − 4.
💡 Najprv si uvedomte: Pri x = 4 by bolo log √0 = log 0 — neexistuje.
Podmienky:
  1. odmocnina: x − 4 ≥ 0 → x ≥ 4
  2. logaritmus: √x − 4 > 0 → x > 4
  3. musí platiť ostro väčšie → x > 4
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x − 4 ≥ 0
    • logaritmus: √x − 4 > 0
  2. Vyriešte:
    • x − 4 ≥ 0 ⟹ x ≥ 4
    • √x − 4 > 0 platí, keď x − 4 > 0 ⟹ x > 4 (odmocnina je 0 iba z nuly)
  3. Spojte:
    • obe musia platiť → prísnejšia podmienka x > 4
  4. Otestujte:
    • x = 3: √−1 ✗
    • x = 4: log √0 = log 0 ✗ → prázdny krúžok
    • x = 5: log √1 = log 1 = 0 — výsledok je 0, ale existuje ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = (4; ∞)
Výsledok: D(f) = (4; ∞)
Príklad 37Náročný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (x² − 1)√5 − x.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo 5 nepatrí: √5 − 5 = 0 by bolo v menovateli.
Podmienky:
  1. logaritmus: x² − 1 > 0 → x < −1 alebo x > 1
  2. odmocnina je v menovateli → 5 − x > 0 → x < 5
  3. kombinácia: x < −1, alebo 1 < x < 5
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • logaritmus v čitateli: x² − 1 > 0
    • odmocnina v menovateli: 5 − x > 0 (≥ 0 kvôli odmocnine, ≠ 0 kvôli zlomku)
  2. Vyriešte prvú podmienku (nulové body ±1):
    • x = −2: 3 → + ✓; x = 0: −1 → − ✗; x = 2: 3 → + ✓
    • ⟹ x < −1 alebo x > 1
  3. Vyriešte druhú podmienku:
    • 5 − x > 0 ⟹ 5 > x ⟹ x < 5
  4. Spojte na číselnej osi (hľadáme, kde sa obe prekrývajú):
    • prvá: (−∞; −1) ∪ (1; ∞)
    • druhá: (−∞; 5)
    • prekrytie: (−∞; −1) a (1; 5)
  5. Otestujte:
    • x = −2 ✓ (3 > 0, 7 > 0)
    • x = 0 ✗ (log(−1))
    • x = 3 ✓ (8 > 0, 2 > 0)
    • x = 5 ✗ (√0 = 0 v menovateli)
    • x = 6 ✗ (√−1)
  6. Výsledok:
    • D(f) = (−∞; −1) ∪ (1; 5)
Výsledok: D(f) = (−∞; −1) ∪ (1; 5)
Príklad 38Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x − 2x² − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Číslo 2 patrí: √04 − 1 = 03 = 0 sa dá vypočítať.
Podmienky:
  1. odmocnina: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
  2. menovateľ: x² − 1 ≠ 0 → x ≠ 1 a x ≠ −1
  3. obe vylúčené čísla sú menšie ako 2 → nič ďalšie nevyhadzujeme
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x − 2 ≥ 0
    • menovateľ: x² − 1 ≠ 0
  2. Vyriešte:
    • x − 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ 2
    • x² − 1 = 0 ⟹ x = ±1 → zakázané čísla −1 a 1
  3. Spojte na osi:
    • povolené sú čísla od 2 vyššie
    • zakázané −1 a 1 ležia vľavo od 2 → mimo povolenej časti → nič ďalšie nevyhadzujeme (na osi sú označené červeno)
  4. Otestujte:
    • x = 2: √04 − 1 = 03 = 0 ✓ → plný krúžok
    • x = 1: √−1 ✗
    • x = 5: √324 ✓
  5. Výsledok:
    • D(f) = ⟨2; ∞)
Výsledok: D(f) = ⟨2; ∞)
Príklad 39Náročný
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (√x + 2x − 3).
💡 Najprv si uvedomte: Pre −2 < x < 3 je menovateľ záporný, zlomok je záporný a logaritmus by neexistoval.
Podmienky:
  1. odmocnina: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2
  2. menovateľ: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3
  3. logaritmus: celý zlomok √x + 2x − 3 > 0
  4. čitateľ √x + 2 je vždy ≥ 0 → zlomok je kladný, iba ak čitateľ > 0 (x > −2) a menovateľ > 0 (x > 3)
🔎 Prečo to tak je? — systematický postup
  1. Určte podmienky:
    • odmocnina: x + 2 ≥ 0
    • menovateľ: x − 3 ≠ 0
    • logaritmus: celý zlomok √x + 2x − 3 > 0
  2. Nájdite nulové body:
    • čitateľ: √x + 2 = 0 ⟹ x = −2
    • menovateľ: x − 3 = 0 ⟹ x = 3
  3. Rozdeľte os (len tam, kde existuje odmocnina, teda od −2):
    • (−2; 3) a (3; ∞)
    • pre x < −2 odmocnina neexistuje → tam nič netestujeme
  4. Otestujte znamienka:
    • (−2; 3), x = 0: čitateľ √2 (+), menovateľ −3 (−) → (+) : (−) = − ✗
    • (3; ∞), x = 7: čitateľ √9 = 3 (+), menovateľ 4 (+) → (+) : (+) = + ✓
    • x = −2: 0−5 = 0 → nie je > 0 ✗
    • x = 3: delenie nulou ✗
  5. Výsledok:
    • zlomok je kladný iba v (3; ∞) → D(f) = (3; ∞)
    • pozor: v pôvodnom cvičení bol uvedený nesprávny výsledok (−2; 3)
✓ Kontrola: x = 0: √2−3 < 0 ✗; x = 7: √94 = 34 > 0 ✓
Výsledok: D(f) = (3; ∞)
G. Doplnkové príklady
Príklad 40Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = 1x − 2.
  1. Je tam zlomok → menovateľ nesmie byť 0.
  2. x − 2 ≠ 0
  3. x ≠ 2 (k obom stranám pripočítame 2)
✓ Kontrola: x = 2 → 10 — nedá sa ✓
Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {2} = (−∞; 2) ∪ (2; ∞) — všetky čísla okrem 2
Príklad 41Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = √x − 1.
  1. Je tam odmocnina → výraz pod ňou musí byť ≥ 0.
  2. x − 1 ≥ 0
  3. x ≥ 1
✓ Kontrola: x = 1 → √0 = 0 ✓; x = 0 → √−1 — nedá sa ✓
Výsledok: D(f) = ⟨1; ∞) — čísla od 1 vrátane vyššie
Príklad 42Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = 2x + 1x + 3.
💡 Najprv si uvedomte: pri definičnom obore zlomku nás zaujíma len to, čo nesmie byť v menovateli (aby nevznikla nula).
Postup:
  1. je tam zlomok → menovateľ ≠ 0
  2. x + 3 ≠ 0 → x ≠ −3
  3. čitateľ 2x + 1 nás nezaujíma — môže byť akýkoľvek
✓ Kontrola: x = −3 → −50 — nedá sa ✓
Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {−3} = (−∞; −3) ∪ (−3; ∞)
Príklad 43Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = 3x² − 16.
💡 Najprv si uvedomte: pri x² = číslo sú vždy dve riešenia — kladné aj záporné.
Postup:
  1. menovateľ ≠ 0: x² − 16 ≠ 0
  2. x² ≠ 16 → x ≠ 4 a x ≠ −4 (lebo 4² = 16 aj (−4)² = 16)
Výsledok: D(f) = ℝ ∖ {−4; 4} = (−∞; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; ∞)
Príklad 44Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = √6 − 2x.
💡 Najprv si uvedomte: pri delení alebo násobení záporným číslom sa znak nerovnosti otáča (≥ na ≤).
Postup:
  1. odmocnina → 6 − 2x ≥ 0
  2. odčítame 6: −2x ≥ −6
  3. vydelíme −2 → znak nerovnosti sa otočí: x ≤ 3
✓ Kontrola: x = 3: √0 = 0 ✓; x = 0: √6 ✓; x = 4: √−2 ✗
Výsledok: D(f) = (−∞; 3⟩
Príklad 45Ľahký
Určte definičný obor funkcie f(x) = log (2x − 8).
💡 Najprv si uvedomte: logaritmus existuje iba z kladného čísla — nula nestačí.
Postup:
  1. logaritmus → argument > 0: 2x − 8 > 0
  2. 2x > 8
  3. x > 4
✓ Kontrola: x = 4: log 0 ✗; x = 5: log 2 ✓
Výsledok: D(f) = (4; ∞)
Príklad 46Stredný
Určte definičný obor funkcie f(x) = 1x + √x.
💡 Najprv si uvedomte: ak je v predpise viac častí, musia byť splnené podmienky všetkých naraz.
Postup:
  1. zlomok 1x → x ≠ 0
  2. odmocnina √x → x ≥ 0
  3. spolu: x ≥ 0 a x ≠ 0 → x > 0
Výsledok: D(f) = (0; ∞)
Príklad 47Stredný
Porovnajte: určte D(g) pre g(x) = x − 2x + 1 a D(f) pre f(x) = log (x − 2x + 1).
💡 Najprv si uvedomte: definičný obor zlomku = len menovateľ ≠ 0; nerovnica (> 0, < 0) = znamienko celého zlomku.
Postup:
  1. g je obyčajný zlomok → zaujíma nás len menovateľ: x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1 → D(g) = ℝ ∖ {−1} = (−∞; −1) ∪ (−1; ∞)
  2. f má zlomok v logaritme → musí platiť x − 2x + 1 > 0 → to je nerovnica, zaujíma nás znamienko celého zlomku
  3. tabuľka znamienok (čitateľ aj menovateľ naraz): (−∞; −1) → +, (−1; 2) → −, (2; ∞) → +
  4. D(f) = (−∞; −1) ∪ (2; ∞)
✓ Kontrola: x = 0: g(0) = −2 existuje ✓, ale f(0) = log(−2) neexistuje ✗

D(g):

D(f):

Výsledok: D(g) = ℝ ∖ {−1} = (−∞; −1) ∪ (−1; ∞); D(f) = (−∞; −1) ∪ (2; ∞)

Záverečný test

20 otázok, každá za 1 bod. Časť A: rozhodni, či je výrok pravdivý. Časť B: vyber jednu správnu odpoveď. Po vyhodnotení sa zobrazí vysvetlenie.

Po zvolení odpovede hneď uvidíš, či je správna, aj vysvetlenie. Odpoveď sa potom už nedá zmeniť.