120:00
PREDNÁŠKA · 2 BLOKY

Dekadický a binárny zápis čísla

Matematika pre manažérov, program P.MC. Dve vyučovacie hodiny, 2 × 120 minút.

⏱ 2 × 120 min📐 16 + 18 príkladov📝 Test 30 otázok🎓 Klasifikácia A–FX

Plán prednášky

Blok 1 / 2Dekadický zápis čísla⏱ 120 min
1Úvod — číselné sústavy a ich využitie10 min⌄
  • Pojem číselná sústava — základ (radix) a číslice
  • Prehľad sústav: desiatková, dvojková, osmičková, šestnástková
  • Praktické využitie: informatika, elektrotechnika, kódovanie dát
2Dekadická (desiatková) sústava25 min⌄
  • Základ 10, číslice 0–9
  • Pozičná hodnota číslic: jednotky, desiatky, stovky, tisícky …
  • Rozvinutý zápis čísla pomocou mocnín základu 10
  • Rozvinutý zápis desatinných čísel (záporné mocniny)
3Príklady — samostatná a spoločná práca60 min⌄
  • 16 príkladov rozdelených podľa témy a náročnosti
  • Rozvinutý zápis celých a desatinných čísel, pozičná hodnota
  • Aplikácie v praxi (financie) a kombinované úlohy
  • Postup: vlastný pokus → odkrytie riešenia → diskusia
4Záverečný test — preskúšanie25 min⌄
  • 5 výrokov: Pravda / Nepravda
  • 5 otázok s výberom zo 4 možností
  • Automatické vyhodnotenie a klasifikácia A–FX
Blok 2 / 2Binárny zápis čísla⏱ 120 min
1Opakovanie — pozičná sústava a rozvinutý zápis10 min⌄
  • Základ sústavy, pozičná hodnota číslice
  • Rozvinutý zápis v desiatkovej sústave (kladné aj záporné mocniny)
2Binárna (dvojková) sústava25 min⌄
  • Základ 2, číslice 0 a 1 (bity)
  • Pozičná hodnota bitov: 2⁰, 2¹, 2², 2³ …
  • Prevod: binárna → desiatková (rozvinutý zápis)
  • Prevod: desiatková → binárna (metóda delenia dvomi)
  • Prevod desatinnej časti (násobenie dvomi)
  • Skupiny bitov — byte a word, LSB a MSB
3Príklady — samostatná a spoločná práca60 min⌄
  • 18 príkladov rozdelených podľa témy a náročnosti
  • Prevody binárna ↔ desiatková, desatinné čísla, bajty
  • Kombinované príklady a aplikácie v praxi
  • Postup: vlastný pokus → odkrytie riešenia → diskusia
4Záverečný test — preskúšanie25 min⌄
  • 5 výrokov: Pravda / Nepravda
  • 5 otázok s výberom zo 4 možností
  • Automatické vyhodnotenie a klasifikácia A–FX

Klasifikácia

ZnámkaPercentoSlovné hodnotenie
A90 – 100 %Výborne
B80 – 89 %Veľmi dobre
C70 – 79 %Dobre
D60 – 69 %Uspokojivo
E50 – 59 %Dostatočne
FX0 – 49 %Nedostatočne
Blok 1 / 2Dekadický zápis čísla⏱ 120 min

1. Číselné sústavy — základné pojmy

Číselná sústava (pozičná)
Spôsob zápisu čísel, kde hodnota každej číslice závisí od jej polohy (pozície) v zápise. Základ sústavy (radix) určuje, koľko rôznych číslic sa používa a akú váhu má každá pozícia.

Čo znamená „pozičná“?

Pozrime sa na číslo 333. Všetky tri číslice sú rovnaké, no každá znamená niečo iné:

ČíslicaPozíciaSkutočná hodnota
3stovky300
3desiatky30
3jednotky3

Rovnaká číslica má rôznu hodnotu podľa toho, kde stojí. Preto hovoríme o pozičnej sústave.

Čo je základ sústavy?

Základ hovorí dve veci naraz:

  • koľko rôznych číslic máme k dispozícii: pri základe 10 je to 10 číslic (0 až 9), pri základe 2 iba 2 číslice (0 a 1);
  • koľkokrát je každá pozícia „silnejšia“ ako pozícia napravo od nej: pri základe 10 je desaťkrát silnejšia, pri základe 2 dvakrát.
🔁 Predstava počítadla kilometrov: v desiatkovej sústave sa koliesko otáča 0, 1, 2, … 9. Keď sa číslice minú, koliesko sa vráti na 0 a susedné koliesko vľavo sa posunie o 1 (z 09 je 10). Pri inom základe sa číslice iba minú skôr alebo neskôr — princíp je rovnaký.
SústavaZákladČísliceVyužitie
Desiatková (DEC)100 – 9Bežný život, financie
Dvojková (BIN)20, 1Počítače, elektronika
Osmičková (OCT)80 – 7Unix oprávnenia, staré systémy
Šestnástková (HEX)160–9, A–FFarby, adresy pamäte
⚠ Dôležité pravidlo: najväčšia číslica je vždy o 1 menšia ako základ (pri základe 10 je to 9, pri základe 8 je to 7, pri základe 2 je to 1). Číslica rovná základu sa v sústave nikdy nevyskytuje. Šestnástková sústava potrebuje 16 číslic, preto si za hodnoty 10 až 15 požičiava písmená A až F.

2. Dekadická (desiatková) sústava

Pozičná hodnota číslic

V desiatkovej sústave má každá pozícia váhu rovnú mocnine čísla 10. Číslice sa číslujú sprava od 0.

pozícia (exponent)3210
názovtisíckystovkydesiatkyjednotky
váha103 = 1000102 = 100101 = 10100 = 1

Každá pozícia je 10-krát väčšia ako pozícia napravo od nej: 1 → 10 → 100 → 1000. Exponent jednoducho hovorí, koľko núl má váha danej pozície.

💡 Prečo 100 = 1? Pozrite sa na rad 103 = 1000, 102 = 100, 101 = 10. Pri každom kroku doprava delíme 10. Ďalší krok je 10 : 10 = 1, teda 100 = 1. Pozícia jednotiek má preto váhu 1.
Príklad s číslom 4 852:
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia103102101100
váha1 000100101
číslica4852
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 4 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 4 · 1 000 = 4 000
  • Číslica 8 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 8 · 100 = 800
  • Číslica 5 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 5 · 10 = 50
  • Číslica 2 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 2 · 1 = 2
Rozvinutý zápis: 4 852 = 4 · 103 + 8 · 102 + 5 · 101 + 2 · 100
Spolu: 4 000 + 800 + 50 + 2 = 4 852 ✓

Čítame to takto: číslo 4 852 sa skladá zo 4 tisícok, 8 stoviek, 5 desiatok a 2 jednotiek.

Rozvinutý zápis — všeobecný vzorec

N = an · 10n + an−1 · 10n−1 + … + a1 · 101 + a0 · 100

kde ai sú číslice čísla (0 až 9) a i je ich pozícia sprava. Vzorec iba všeobecne zapisuje to, čo sme urobili s číslom 4 852: každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície a všetko sčítame.

📋 Postup — ako zapísať číslo v rozvinutom tvare
  1. Očíslujte číslice sprava: posledná číslica má pozíciu 0, predposledná 1 atď.
  2. Každú číslicu vynásobte číslom 10 umocneným na jej pozíciu.
  3. Všetky súčiny spojte znamienkom +. Nuly v zápise nevynechávajte, aj keď súčin je 0 — ukazujú, že pozícia je prázdna.
  4. Kontrola: vypočítajte súčet — musí vyjsť pôvodné číslo.

Desatinné čísla — záporné mocniny

Ak pokračujeme v delení 10 aj za pozíciu jednotiek, dostaneme pozície za desatinnou čiarkou:

exponent10,−1−2−3
váha101,0,10,010,001
názovdesiatkyjednotky,desatinystotinytisíciny

Záporný exponent teda neznamená záporné číslo, ale zlomok: 10−1 = 1/10 = 0,1; 10−2 = 1/100 = 0,01.

Príklad s číslom 3,14:
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia100,10−110−2
váha1,0,10,01
číslica3,14
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 3 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 3 · 1 = 3
  • Číslica 1 stojí na pozícii 10−1 (váha 0,1) → 1 · 0,1 = 0,1
  • Číslica 4 stojí na pozícii 10−2 (váha 0,01) → 4 · 0,01 = 0,04
Rozvinutý zápis: 3,14 = 3 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2
Spolu: 3 + 0,1 + 0,04 = 3,14 ✓
⚠ Pozícia desatinnej čiarky rozdeľuje kladné a záporné mocniny základu. Prvá číslica napravo od čiarky má exponent −1 (nie 0 — exponent 0 patrí jednotkám vľavo od čiarky).
❌ Najčastejšie chyby
  • Číslovanie pozícií zľava namiesto sprava.
  • Vynechanie nuly v čísle (napr. pri 7 305 zabudnúť na 0 · 101) a následné posunutie ostatných exponentov.
  • Prvej desatinnej číslici priradiť exponent 0 namiesto −1.
Blok 2 / 2Binárny zápis čísla⏱ 120 min

3. Binárna (dvojková) sústava

Bit (binary digit)
Najmenšia jednotka informácie. Nadobúda iba dve hodnoty: 0 alebo 1. Každá pozícia v binárnom zápise predstavuje mocninu čísla 2.

Prečo práve dvojková sústava?

Počítač je zložený z obrovského množstva elektronických spínačov. Každý spínač pozná iba dva stavy — prúd tečie / netečie (zapnuté / vypnuté). Tieto dva stavy zapisujeme ako 1 a 0. Dvojková sústava je preto pre stroj prirodzená, tak ako je pre nás prirodzená desiatková (máme 10 prstov).

Ako sa v dvojkovej sústave počíta

Princíp je rovnaký ako pri počítadle kilometrov, len koliesko má iba číslice 0 a 1. Po 1 nasleduje prenos do vyššej pozície (podobne ako po 9 v desiatkovej sústave):

DesiatkovoDvojkovo
00
11
210 ← číslice sa minuli, prenos
311
4100 ← prenos o dve pozície
5101
6110
7111
81000
⚠ Zápis 10₂ čítame „jedna-nula v dvojkovej sústave“, nie „desať“ — jeho hodnota je dva. Dolný index ₂ alebo ₁₀ vždy označuje, v akej sústave je číslo zapísané.

Váhy pozícií (bitov)

27128
2664
2532
2416
238
224
212
201

Každá pozícia má dvojnásobnú váhu ako pozícia napravo (1, 2, 4, 8, 16 …), tak ako v desiatkovej sústave má desaťnásobnú. Tieto čísla sa oplatí vedieť naspamäť aspoň po 128.

Prevod: binárna → desiatková

Každá pozícia v binárnom čísle má svoju váhu, ktorá predstavuje mocninu čísla 2 (sprava doľava: 1, 2, 4, 8, 16 …, čo zodpovedá 20, 21, 22, 23 …). Pre 4-bitové číslo sú tieto váhy 8 – 4 – 2 – 1.

Príklad s číslom 1011:
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha8421
bit1011
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 8 má bit 1 → pripočítame 8
  • Pozícia s váhou 4 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 1 → pripočítame 1
Spolu: 8 + 2 + 1 = 11 → 1011₂ = 11₁₀
📋 Postup
  1. Nad každý bit napíšte jeho váhu (sprava: 1, 2, 4, 8, 16 …).
  2. Pri každej pozícii sa pozrite na bit: bit 1 → váhu pripočítame, bit 0 → vynecháme.
  3. Sčítajte pripočítané váhy — dostanete desiatkové číslo.

Prevod: desiatková → binárna (metóda delenia dvomi)

Tento algoritmus slúži na prevod čísla z desiatkovej sústavy do binárnej.

📋 Postup
  1. Východiskové desiatkové číslo delíme celočíselne dvomi.
  2. Zaznamenáme zvyšok po delení (bude buď 0, alebo 1 — tieto zvyšky tvoria jednotlivé bity výsledného čísla).
  3. Podiel opäť delíme dvomi a postup opakujeme, kým nie je podiel 0.
  4. Výsledok čítame zdola nahor (od posledného získaného zvyšku po prvý):
    • prvý zvyšok je LSB (Least Significant Bit — najnižší, najmenej významný bit, úplne vpravo),
    • posledný zvyšok je MSB (Most Significant Bit — najvyšší, najvýznamnejší bit, úplne vľavo).
Príklad s číslom 13:
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 13 ÷ 2 = 6  (zvyšok 1 ← LSB)
  • 6 ÷ 2 = 3  (zvyšok 0)
  • 3 ÷ 2 = 1  (zvyšok 1)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 1101, teda 13₁₀ = 1101₂
💡 Prečo metóda funguje?
  • Zvyšok po delení 2 hovorí, či je číslo párne (0) alebo nepárne (1). V binárnom zápise o tom rozhoduje iba posledný bit (všetky ostatné váhy 2, 4, 8 … sú párne). Prvý zvyšok je preto posledný bit — LSB.
  • Delením 2 „odrežeme“ posledný bit a ostatné bity sa posunú o pozíciu doprava. Ďalší zvyšok je potom nasledujúci bit.
  • Bity teda dostávame od najnižšieho po najvyšší — preto výsledok čítame zdola nahor.
✓ Kontrola: výsledok vždy prepočítajte späť metódou váh — 1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13 ✓

Prevod desatinnej časti (násobenie dvomi)

Desatinnú časť opakovane násobíme 2. Celá časť výsledku tvorí jednotlivé bity za binárnou čiarkou, čítame zhora nadol.

0,625 × 2 = 1,25 → bit: 1
0,25 × 2 = 0,5 → bit: 0
0,5 × 2 = 1,0 → bit: 1 (koniec)
Výsledok: 0,625₁₀ = 0,101₂
💡 Prečo násobíme a čítame zhora? Pozície za binárnou čiarkou majú váhy 2−1 = 0,5; 2−2 = 0,25; 2−3 = 0,125 … Vynásobením číslom 2 sa prvý bit za čiarkou „presunie“ pred čiarku, kde ho vidíme ako celú časť (0 alebo 1). Celú časť potom odložíme a pokračujeme so zvyškom. Bity tak dostávame od prvého za čiarkou — preto zhora nadol. Postup končí, keď desatinná časť je 0.
✓ Kontrola: 0,101₂ = 1 · 0,5 + 0 · 0,25 + 1 · 0,125 = 0,625 ✓
❌ Pozor na smer čítania
  • Celá časť (delenie 2) → zvyšky čítame zdola nahor.
  • Desatinná časť (násobenie 2) → celé časti čítame zhora nadol.

Skupiny bitov — byte a word

JednotkaBityMaximálna hodnota (DEC)
Bit11
Nibble415
Byte (bajt)8255
Word (slovo)1665 535
Double word324 294 967 295
💡 Odkiaľ sa berie maximálna hodnota? Najväčšie číslo dostaneme, keď sú všetky bity 1. Napríklad bajt 11111111₂ = 128 + 64 + … + 1 = 255. Je to vždy o 1 menej ako váha ďalšej pozície (256 = 2⁸), tak ako 999 je o 1 menej ako 1000. Všeobecne: n bitov → maximum 2n − 1, spolu 2n rôznych hodnôt (vrátane nuly).
⚠ LSB (Least Significant Bit) = bit s najnižšou váhou (pozícia 2⁰, pravý bit). MSB (Most Significant Bit) = bit s najvyššou váhou (ľavý bit). Zmena MSB zmení číslo najviac, zmena LSB najmenej (o 1).

Príklady

Postup: vlastný pokus → odkrytie riešenia → diskusia.

Blok 1 / 2Dekadický zápis čísla⏱ 120 min
A. Rozvinutý zápis celých čísel
Príklad 1Ľahký
Zapíšte číslo 7 305 v rozvinutom tvare.
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia103102101100
váha1 000100101
číslica7305
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 7 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 7 · 1 000 = 7 000
  • Číslica 3 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 3 · 100 = 300
  • Číslica 0 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 0 · 10 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 5 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 5 · 1 = 5
Rozvinutý zápis: 7 305 = 7 · 103 + 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100
Spolu: 7 000 + 300 + 0 + 5 = 7 305 ✓
💡 Prečo: Nula na pozícii desiatok znamená „žiadne desiatky“. Člen 0 · 10¹ ponechávame, aby bolo vidno, že pozícia existuje — bez nej by z čísla bolo 735.
Výsledok: 7 305 = 7 · 103 + 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100
Príklad 2Ľahký
Zapíšte číslo 60 418 v rozvinutom tvare.
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia104103102101100
váha10 0001 000100101
číslica60418
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 6 stojí na pozícii 104 (váha 10 000) → 6 · 10 000 = 60 000
  • Číslica 0 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 0 · 1 000 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 4 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 4 · 100 = 400
  • Číslica 1 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 1 · 10 = 10
  • Číslica 8 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 8 · 1 = 8
Rozvinutý zápis: 60 418 = 6 · 104 + 0 · 103 + 4 · 102 + 1 · 101 + 8 · 100
Spolu: 60 000 + 0 + 400 + 10 + 8 = 60 418 ✓
💡 Prečo: Číslo má 5 číslic, najvyšší exponent je preto 4 (počet číslic − 1), lebo pozície číslujeme od nuly.
Výsledok: 60 418 = 6 · 104 + 0 · 103 + 4 · 102 + 1 · 101 + 8 · 100
Príklad 3Ľahký
Ktoré číslo má rozvinutý zápis 5 · 103 + 2 · 102 + 9 · 101 + 1 · 100?
Prejdeme všetky pozície od najvyššej po najnižšiu — aj tie, ktoré v zápise chýbajú:
  • Pozícia 103 (váha 1 000): číslica 5 → 5 · 1 000 = 5 000
  • Pozícia 102 (váha 100): číslica 2 → 2 · 100 = 200
  • Pozícia 101 (váha 10): číslica 9 → 9 · 10 = 90
  • Pozícia 100 (váha 1): číslica 1 → 1 · 1 = 1
Číslice podľa pozícií: 5 | 2 | 9 | 1
Spolu: 5 000 + 200 + 90 + 1 = 5 291
💡 Prečo: Je to opačný postup: z čísel pred mocninami skladáme číslice. Ak exponenty idú za sebou (3, 2, 1, 0) a žiadny nechýba, číslice sa dajú priamo prečítať: 5, 2, 9, 1.
Výsledok: 5 291
Príklad 4Stredný
Ktoré číslo má rozvinutý zápis 8 · 104 + 3 · 102 + 7 · 100?
Prejdeme všetky pozície od najvyššej po najnižšiu — aj tie, ktoré v zápise chýbajú:
  • Pozícia 104 (váha 10 000): číslica 8 → 8 · 10 000 = 80 000
  • Pozícia 103 (váha 1 000): v zápise chýba → číslica 0
  • Pozícia 102 (váha 100): číslica 3 → 3 · 100 = 300
  • Pozícia 101 (váha 10): v zápise chýba → číslica 0
  • Pozícia 100 (váha 1): číslica 7 → 7 · 1 = 7
Číslice podľa pozícií: 8 | 0 | 3 | 0 | 7
Spolu: 80 000 + 300 + 7 = 80 307
💡 Prečo: Chýbajúca mocnina znamená nulu na tejto pozícii. Keby sme iba spojili číslice 8, 3, 7, dostali by sme 837 — číslo asi stokrát menšie.
Výsledok: 80 307
B. Pozičná hodnota číslic
Príklad 5Ľahký
Akú hodnotu má číslica 6 v čísle 362 945?
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia105104103102101100
váha100 00010 0001 000100101
číslica362945
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 3 stojí na pozícii 105 (váha 100 000) → 3 · 100 000 = 300 000
  • Číslica 6 stojí na pozícii 104 (váha 10 000) → 6 · 10 000 = 60 000  ← hľadaná číslica
  • Číslica 2 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 2 · 1 000 = 2 000
  • Číslica 9 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 9 · 100 = 900
  • Číslica 4 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 4 · 10 = 40
  • Číslica 5 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 5 · 1 = 5
Rozvinutý zápis: 362 945 = 3 · 105 + 6 · 104 + 2 · 103 + 9 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100
Spolu: 300 000 + 60 000 + 2 000 + 900 + 40 + 5 = 362 945 ✓
💡 Prečo: Otázka sa nepýta, akú číslicu vidíme (6), ale koľko táto číslica „prispieva“ k celému číslu — to určuje jej pozícia.
Výsledok: číslica 6 stojí na pozícii 104 → 6 · 10 000 = 60 000
Príklad 6Stredný
V čísle 48 207 určte pre každú číslicu jej pozíciu (exponent) a hodnotu.
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia104103102101100
váha10 0001 000100101
číslica48207
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 4 stojí na pozícii 104 (váha 10 000) → 4 · 10 000 = 40 000
  • Číslica 8 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 8 · 1 000 = 8 000
  • Číslica 2 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 2 · 100 = 200
  • Číslica 0 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 0 · 10 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 7 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 7 · 1 = 7
Rozvinutý zápis: 48 207 = 4 · 104 + 8 · 103 + 2 · 102 + 0 · 101 + 7 · 100
Spolu: 40 000 + 8 000 + 200 + 0 + 7 = 48 207 ✓
✓ Kontrola: súčet hodnôt všetkých číslic musí dať pôvodné číslo: 40 000 + 8 000 + 200 + 0 + 7 = 48 207 ✓
Výsledok: 4 → 10⁴ = 40 000; 8 → 10³ = 8 000; 2 → 10² = 200; 0 → 10¹ = 0; 7 → 10⁰ = 7
Príklad 7Stredný
Číslo 47,3 vynásobte 10. Porovnajte rozvinutý zápis pred a po vynásobení.
Pred vynásobením — 47,3:
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia101100,10−1
váha101,0,1
číslica47,3
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 4 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 4 · 10 = 40
  • Číslica 7 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 7 · 1 = 7
  • Číslica 3 stojí na pozícii 10−1 (váha 0,1) → 3 · 0,1 = 0,3
Rozvinutý zápis: 47,3 = 4 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1
Spolu: 40 + 7 + 0,3 = 47,3 ✓
Po vynásobení — 473:
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia102101100
váha100101
číslica473
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 4 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 4 · 100 = 400
  • Číslica 7 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 7 · 10 = 70
  • Číslica 3 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 3 · 1 = 3
Rozvinutý zápis: 473 = 4 · 102 + 7 · 101 + 3 · 100
Spolu: 400 + 70 + 3 = 473 ✓
💡 Prečo: Preto sa pri násobení 10 „posúva čiarka“. V skutočnosti sa nehýbe čiarka, ale každá číslica preskočí na pozíciu s 10-krát väčšou váhou: 4 z 10¹ na 10², 7 z 10⁰ na 10¹, 3 z 10⁻¹ na 10⁰.
Výsledok: číslice 4, 7, 3 zostali rovnaké, ale každá sa posunula o jednu pozíciu vyššie (exponent +1)
C. Desatinné čísla
Príklad 8Ľahký
Zapíšte číslo 25,47 v rozvinutom tvare.
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia101100,10−110−2
váha101,0,10,01
číslica25,47
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 2 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 2 · 10 = 20
  • Číslica 5 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 5 · 1 = 5
  • Číslica 4 stojí na pozícii 10−1 (váha 0,1) → 4 · 0,1 = 0,4
  • Číslica 7 stojí na pozícii 10−2 (váha 0,01) → 7 · 0,01 = 0,07
Rozvinutý zápis: 25,47 = 2 · 101 + 5 · 100 + 4 · 10−1 + 7 · 10−2
Spolu: 20 + 5 + 0,4 + 0,07 = 25,47 ✓
💡 Prečo: Desatinná čiarka je „nulový bod“: vľavo exponenty rastú (0, 1, 2 …), vpravo klesajú (−1, −2 …).
Výsledok: 25,47 = 2 · 101 + 5 · 100 + 4 · 10−1 + 7 · 10−2
Príklad 9Ľahký
Zapíšte číslo 0,306 v rozvinutom tvare.
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia100,10−110−210−3
váha1,0,10,010,001
číslica0,306
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 0 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 0 · 1 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 3 stojí na pozícii 10−1 (váha 0,1) → 3 · 0,1 = 0,3
  • Číslica 0 stojí na pozícii 10−2 (váha 0,01) → 0 · 0,01 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 6 stojí na pozícii 10−3 (váha 0,001) → 6 · 0,001 = 0,006
Rozvinutý zápis: 0,306 = 0 · 100 + 3 · 10−1 + 0 · 10−2 + 6 · 10−3
Spolu: 0 + 0,3 + 0 + 0,006 = 0,306 ✓
💡 Prečo: Nula za čiarkou je rovnako dôležitá ako v celom čísle — bez nej by sme mali 0,36, čo je iné číslo.
Výsledok: 0,306 = 3 · 10−1 + 0 · 10−2 + 6 · 10−3 (člen 0 · 10⁰ pred čiarkou môžeme vynechať)
Príklad 10Stredný
Ktoré číslo má rozvinutý zápis 4 · 102 + 1 · 100 + 5 · 10−1 + 2 · 10−3?
Prejdeme všetky pozície od najvyššej po najnižšiu — aj tie, ktoré v zápise chýbajú:
  • Pozícia 102 (váha 100): číslica 4 → 4 · 100 = 400
  • Pozícia 101 (váha 10): v zápise chýba → číslica 0
  • Pozícia 100 (váha 1): číslica 1 → 1 · 1 = 1
  • Pozícia 10−1 (váha 0,1): číslica 5 → 5 · 0,1 = 0,5
  • Pozícia 10−2 (váha 0,01): v zápise chýba → číslica 0
  • Pozícia 10−3 (váha 0,001): číslica 2 → 2 · 0,001 = 0,002
Číslice podľa pozícií: 4 | 0 | 1 | , | 5 | 0 | 2
Spolu: 400 + 1 + 0,5 + 0,002 = 401,502
💡 Prečo: Chýbajú dve pozície (10¹ a 10⁻²) — na obe doplníme nulu. Čiarku píšeme medzi pozície 10⁰ a 10⁻¹.
Výsledok: 401,502
Príklad 11Stredný
Zapíšte číslo 1 204,05 v rozvinutom tvare.
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia103102101100,10−110−2
váha1 000100101,0,10,01
číslica1204,05
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 1 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 1 · 1 000 = 1 000
  • Číslica 2 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 2 · 100 = 200
  • Číslica 0 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 0 · 10 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 4 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 4 · 1 = 4
  • Číslica 0 stojí na pozícii 10−1 (váha 0,1) → 0 · 0,1 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 5 stojí na pozícii 10−2 (váha 0,01) → 5 · 0,01 = 0,05
Rozvinutý zápis: 1 204,05 = 1 · 103 + 2 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100 + 0 · 10−1 + 5 · 10−2
Spolu: 1 000 + 200 + 0 + 4 + 0 + 0,05 = 1 204,05 ✓
💡 Prečo: Číslo obsahuje dve nuly s rôznym významom: prvá znamená „žiadne desiatky“, druhá „žiadne desatiny“.
Výsledok: 1 204,05 = 1 · 103 + 2 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100 + 0 · 10−1 + 5 · 10−2
Príklad 12Stredný
Aký exponent má číslica 5 v čísle 0,0457 a akú má hodnotu?
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia100,10−110−210−310−4
váha1,0,10,010,0010,0001
číslica0,0457
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 0 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 0 · 1 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 0 stojí na pozícii 10−1 (váha 0,1) → 0 · 0,1 = 0 — pozícia je prázdna, ale v zápise ju ponecháme
  • Číslica 4 stojí na pozícii 10−2 (váha 0,01) → 4 · 0,01 = 0,04
  • Číslica 5 stojí na pozícii 10−3 (váha 0,001) → 5 · 0,001 = 0,005  ← hľadaná číslica
  • Číslica 7 stojí na pozícii 10−4 (váha 0,0001) → 7 · 0,0001 = 0,0007
Rozvinutý zápis: 0,0457 = 0 · 100 + 0 · 10−1 + 4 · 10−2 + 5 · 10−3 + 7 · 10−4
Spolu: 0 + 0 + 0,04 + 0,005 + 0,0007 = 0,0457 ✓
💡 Prečo: Exponent −3 znamená „tretie miesto za čiarkou“. Váha je 1/1000, preto hovoríme o tisícinách.
Výsledok: exponent −3, hodnota 5 · 0,001 = 0,005 (5 tisícin)
D. Aplikácie a kombinované úlohy
Príklad 13Stredný
Pokladníčka vypláca sumu 3 457,80 € iba bankovkami/mincami 1000 €, 100 €, 10 €, 1 € a 10 centov (z každej max. 9 kusov). Koľko kusov z každej použije? Zapíšte sumu rozvinuto.

Hodnoty platidiel sú presne váhy pozícií: 1000 = 10³, 100 = 10², 10 = 10¹, 1 = 10⁰, 0,10 = 10⁻¹. Počet kusov = číslica na danej pozícii.

Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia103102101100,10−1
váha1 000100101,0,1
číslica3457,8
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 3 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 3 · 1 000 = 3 000
  • Číslica 4 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 4 · 100 = 400
  • Číslica 5 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 5 · 10 = 50
  • Číslica 7 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 7 · 1 = 7
  • Číslica 8 stojí na pozícii 10−1 (váha 0,1) → 8 · 0,1 = 0,8
Rozvinutý zápis: 3 457,80 = 3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100 + 8 · 10−1
Spolu: 3 000 + 400 + 50 + 7 + 0,8 = 3 457,80 ✓
💡 Prečo: Obmedzenie „max. 9 kusov“ zodpovedá tomu, že číslica je najviac 9. Desať stoeurovek by sme vymenili za jednu tisícku — presne ako pri prenose do vyššej pozície.
Výsledok: 3 × 1000 €, 4 × 100 €, 5 × 10 €, 7 × 1 €, 8 × 10 centov
Príklad 14Stredný
Porovnajte čísla A = 3 · 104 + 5 · 102 a B = 2 · 104 + 9 · 103 + 9 · 102 + 9 · 101 + 9 · 100. O koľko sa líšia?
Číslo A:
Prejdeme všetky pozície od najvyššej po najnižšiu — aj tie, ktoré v zápise chýbajú:
  • Pozícia 104 (váha 10 000): číslica 3 → 3 · 10 000 = 30 000
  • Pozícia 103 (váha 1 000): v zápise chýba → číslica 0
  • Pozícia 102 (váha 100): číslica 5 → 5 · 100 = 500
  • Pozícia 101 (váha 10): v zápise chýba → číslica 0
  • Pozícia 100 (váha 1): v zápise chýba → číslica 0
Číslice podľa pozícií: 3 | 0 | 5 | 0 | 0
Spolu: 30 000 + 500 = 30 500
Číslo B:
Prejdeme všetky pozície od najvyššej po najnižšiu — aj tie, ktoré v zápise chýbajú:
  • Pozícia 104 (váha 10 000): číslica 2 → 2 · 10 000 = 20 000
  • Pozícia 103 (váha 1 000): číslica 9 → 9 · 1 000 = 9 000
  • Pozícia 102 (váha 100): číslica 9 → 9 · 100 = 900
  • Pozícia 101 (váha 10): číslica 9 → 9 · 10 = 90
  • Pozícia 100 (váha 1): číslica 9 → 9 · 1 = 9
Číslice podľa pozícií: 2 | 9 | 9 | 9 | 9
Spolu: 20 000 + 9 000 + 900 + 90 + 9 = 29 999

Porovnávame od najvyššej pozície 10⁴: A má číslicu 3, B má 2 → A je väčšie. Rozdiel: 30 500 − 29 999 = 501.

💡 Prečo: B má veľa deviatok, no rozhoduje najvyššia pozícia. Jedna jednotka navyše na pozícii 10⁴ (10 000) je viac ako všetky nižšie pozície dokopy (najviac 9 999).
Výsledok: A > B, rozdiel je 501
Príklad 15Náročný
Štvorciferné číslo má rozvinutý zápis a · 103 + 4 · 102 + b · 101 + 6 · 100. Ciferný súčet je 20 a číslica a je o 2 väčšia ako b. Určte číslo.
PozíciaVáhaČíslica
10³1 000a
10²1004
10¹10b
10⁰16
  • Z rozvinutého zápisu čítame číslice: a, 4, b, 6.
  • Ciferný súčet: a + 4 + b + 6 = 20 → a + b = 10
  • Druhá podmienka: a = b + 2
  • Dosadíme: (b + 2) + b = 10 → 2b = 8 → b = 4, potom a = 6
Očíslujeme pozície (sprava od 0, za čiarkou −1, −2 …) a ku každej napíšeme váhu:
pozícia103102101100
váha1 000100101
číslica6446
Každú číslicu vynásobíme váhou jej pozície:
  • Číslica 6 stojí na pozícii 103 (váha 1 000) → 6 · 1 000 = 6 000
  • Číslica 4 stojí na pozícii 102 (váha 100) → 4 · 100 = 400
  • Číslica 4 stojí na pozícii 101 (váha 10) → 4 · 10 = 40
  • Číslica 6 stojí na pozícii 100 (váha 1) → 6 · 1 = 6
Rozvinutý zápis: 6 446 = 6 · 103 + 4 · 102 + 4 · 101 + 6 · 100
Spolu: 6 000 + 400 + 40 + 6 = 6 446 ✓
✓ Kontrola: 6 + 4 + 4 + 6 = 20 ✓ a 6 = 4 + 2 ✓
Výsledok: 6 446
Príklad 16Náročný
Ktoré zo zápisov 175, 289, 4071, 6E môžu byť čísla v osmičkovej sústave? Ktorá sústava sa zrejme použila pri zápise farby #FF8800?
Osmičková sústava má základ 8 → povolené sú iba číslice 0 až 7. Skontrolujeme každú číslicu:
  • 175: 1 ✓, 7 ✓, 5 ✓ → môže byť osmičkové
  • 289: 2 ✓, 8 ✗, 9 ✗ → nemôže
  • 4071: 4 ✓, 0 ✓, 7 ✓, 1 ✓ → môže byť osmičkové
  • 6E: 6 ✓, E ✗ (písmeno) → nemôže
#FF8800 obsahuje písmeno F. Písmená ako číslice používa iba šestnástková sústava (A = 10 … F = 15).
💡 Prečo: Najväčšia číslica je vždy základ − 1. V osmičkovej sústave by „osem“ už bolo zapísané ako 10 (jedna osmička, nula jednotiek), rovnako ako desať v desiatkovej sústave.
Výsledok: osmičkové: 175 a 4071; farba je v šestnástkovej (HEX) sústave
Blok 2 / 2Binárny zápis čísla⏱ 120 min
A. Prevod binárna → desiatková (metóda váh)
Príklad 1Ľahký
Preveďte 1101₂ do desiatkovej sústavy.
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha8421
bit1101
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 8 má bit 1 → pripočítame 8
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 1 má bit 1 → pripočítame 1
Spolu: 8 + 4 + 1 = 13 → 1101₂ = 13₁₀
💡 Prečo: Bit 0 na pozícii s váhou 2 znamená, že dvojka sa do čísla „nezapočíta“ — preto ju vynecháme.
✓ Kontrola: posledný bit je 1 → číslo musí byť nepárne; 13 je nepárne ✓
Výsledok: 1101₂ = 13₁₀
Príklad 2Ľahký
Preveďte 10110₂ do desiatkovej sústavy.
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha168421
bit10110
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 16 má bit 1 → pripočítame 16
  • Pozícia s váhou 8 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 0 → vynecháme (0)
Spolu: 16 + 4 + 2 = 22 → 10110₂ = 22₁₀
💡 Prečo: Číslo má 5 bitov, preto najvyššia váha je 2⁴ = 16 (počet bitov − 1).
✓ Kontrola: posledný bit je 0 → číslo musí byť párne; 22 je párne ✓
Výsledok: 10110₂ = 22₁₀
Príklad 3Ľahký
Preveďte 111111₂ do desiatkovej sústavy.
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha32168421
bit111111
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 32 má bit 1 → pripočítame 32
  • Pozícia s váhou 16 má bit 1 → pripočítame 16
  • Pozícia s váhou 8 má bit 1 → pripočítame 8
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 1 → pripočítame 1
Spolu: 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 → 111111₂ = 63₁₀
💡 Prečo: Všetky bity sú 1, pripočítame všetky váhy. Skratka: samé jednotky = ďalšia váha − 1, teda 64 − 1 = 63 (ako 999 = 1000 − 1).
Výsledok: 111111₂ = 63₁₀
Príklad 4Stredný
Preveďte 10010110₂ do desiatkovej sústavy.
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha1286432168421
bit10010110
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 128 má bit 1 → pripočítame 128
  • Pozícia s váhou 64 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 32 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 16 má bit 1 → pripočítame 16
  • Pozícia s váhou 8 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 0 → vynecháme (0)
Spolu: 128 + 16 + 4 + 2 = 150 → 10010110₂ = 150₁₀
💡 Prečo: Pri 8 bitoch je najistejšie napísať si všetky váhy 128 … 1 nad bity, aby sa žiadny bit neposunul na zlú pozíciu.
✓ Kontrola: posledný bit je 0 → párne číslo; 150 je párne ✓
Výsledok: 10010110₂ = 150₁₀
B. Prevod desiatková → binárna (metóda delenia dvomi)
Príklad 5Ľahký
Preveďte 25₁₀ do dvojkovej sústavy.
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 25 ÷ 2 = 12  (zvyšok 1 ← LSB)
  • 12 ÷ 2 = 6  (zvyšok 0)
  • 6 ÷ 2 = 3  (zvyšok 0)
  • 3 ÷ 2 = 1  (zvyšok 1)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 11001, teda 25₁₀ = 11001₂
💡 Prečo: Prvý zvyšok je 1, lebo 25 je nepárne — preto je posledný bit (LSB) výsledku 1.
✓ Kontrola: 11001₂ = 16 + 8 + 1 = 25 ✓
Výsledok: 25₁₀ = 11001₂
Príklad 6Stredný
Preveďte 44₁₀ do dvojkovej sústavy.
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 44 ÷ 2 = 22  (zvyšok 0 ← LSB)
  • 22 ÷ 2 = 11  (zvyšok 0)
  • 11 ÷ 2 = 5  (zvyšok 1)
  • 5 ÷ 2 = 2  (zvyšok 1)
  • 2 ÷ 2 = 1  (zvyšok 0)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 101100, teda 44₁₀ = 101100₂
💡 Prečo: Prvé dva zvyšky sú 0 (44 aj 22 sú párne), preto výsledok končí dvoma nulami.
✓ Kontrola: 101100₂ = 32 + 8 + 4 = 44 ✓
Výsledok: 44₁₀ = 101100₂
Príklad 7Stredný
Preveďte 100₁₀ do dvojkovej sústavy.
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 100 ÷ 2 = 50  (zvyšok 0 ← LSB)
  • 50 ÷ 2 = 25  (zvyšok 0)
  • 25 ÷ 2 = 12  (zvyšok 1)
  • 12 ÷ 2 = 6  (zvyšok 0)
  • 6 ÷ 2 = 3  (zvyšok 0)
  • 3 ÷ 2 = 1  (zvyšok 1)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 1100100, teda 100₁₀ = 1100100₂
💡 Prečo: Výsledok má 7 bitov, pretože 100 leží medzi 2⁶ = 64 a 2⁷ = 128 — MSB má váhu 64.
✓ Kontrola: 1100100₂ = 64 + 32 + 4 = 100 ✓
Výsledok: 100₁₀ = 1100100₂
Príklad 8Stredný
Preveďte 255₁₀ do dvojkovej sústavy.
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 255 ÷ 2 = 127  (zvyšok 1 ← LSB)
  • 127 ÷ 2 = 63  (zvyšok 1)
  • 63 ÷ 2 = 31  (zvyšok 1)
  • 31 ÷ 2 = 15  (zvyšok 1)
  • 15 ÷ 2 = 7  (zvyšok 1)
  • 7 ÷ 2 = 3  (zvyšok 1)
  • 3 ÷ 2 = 1  (zvyšok 1)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 11111111, teda 255₁₀ = 11111111₂
💡 Prečo: Všetky podiely boli nepárne, preto sú všetky zvyšky 1. Je to najväčšie číslo, ktoré sa zmestí do 1 bajtu (2⁸ − 1).
✓ Kontrola: 11111111₂ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255 ✓
Výsledok: 255₁₀ = 11111111₂
C. Desatinné čísla
Príklad 9Ľahký
Preveďte 0,75₁₀ do dvojkovej sústavy.
Desatinnú časť násobíme dvomi a zapisujeme celé časti:
  • 0,75 × 2 = 1,5  (celá časť 1 ← prvý bit za čiarkou)
  • 0,5 × 2 = 1  (celá časť 1) — desatinná časť je 0, koniec
Celé časti čítané zhora nadol dajú bity za čiarkou: 0,11₂
💡 Prečo: 0,75 = 0,5 + 0,25 — sú to presne váhy prvých dvoch pozícií za binárnou čiarkou.
✓ Kontrola: 0,11₂ = 0,5 + 0,25 = 0,75 ✓
Výsledok: 0,75₁₀ = 0,11₂
Príklad 10Stredný
Preveďte 0,375₁₀ do dvojkovej sústavy.
Desatinnú časť násobíme dvomi a zapisujeme celé časti:
  • 0,375 × 2 = 0,75  (celá časť 0 ← prvý bit za čiarkou)
  • 0,75 × 2 = 1,5  (celá časť 1)
  • 0,5 × 2 = 1  (celá časť 1) — desatinná časť je 0, koniec
Celé časti čítané zhora nadol dajú bity za čiarkou: 0,011₂
💡 Prečo: Prvý bit je 0, lebo 0,375 < 0,5 — pozícia s váhou 0,5 zostáva prázdna. Nulu nesmieme vynechať.
✓ Kontrola: 0,011₂ = 0,25 + 0,125 = 0,375 ✓
Výsledok: 0,375₁₀ = 0,011₂
Príklad 11Stredný
Preveďte 101,01₂ do desiatkovej sústavy.
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha421,0,50,25
bit101,01
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 1 má bit 1 → pripočítame 1
  • Pozícia s váhou 0,5 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 0,25 má bit 1 → pripočítame 0,25
Spolu: 4 + 1 + 0,25 = 5,25 → 101,01₂ = 5,25₁₀
💡 Prečo: Za binárnou čiarkou váhy ďalej delíme dvomi: 1 → 0,5 → 0,25 → 0,125 …
Výsledok: 101,01₂ = 5,25₁₀
Príklad 12Náročný
Preveďte 6,5₁₀ do dvojkovej sústavy (celú a desatinnú časť zvlášť).
1. Celá časť 6 — delenie dvomi:
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 6 ÷ 2 = 3  (zvyšok 0 ← LSB)
  • 3 ÷ 2 = 1  (zvyšok 1)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 110, teda 6₁₀ = 110₂
2. Desatinná časť 0,5 — násobenie dvomi:
Desatinnú časť násobíme dvomi a zapisujeme celé časti:
  • 0,5 × 2 = 1  (celá časť 1 ← prvý bit za čiarkou) — desatinná časť je 0, koniec
Celé časti čítané zhora nadol dajú bity za čiarkou: 0,1₂
Spojíme: 110 , 1
💡 Prečo: Celú časť čítame zdola nahor, desatinnú zhora nadol — preto ich vždy spracujeme zvlášť.
✓ Kontrola: 110,1₂ = 4 + 2 + 0,5 = 6,5 ✓
Výsledok: 6,5₁₀ = 110,1₂
D. Bity, bajty, LSB a MSB
Príklad 13Ľahký
Aké je najväčšie číslo zapísateľné jedným nibblom? Zapíšte ho binárne aj dekadicky.

Nibble má 4 bity. Najväčšie číslo dostaneme, keď sú všetky bity 1 → 1111₂.

Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha8421
bit1111
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 8 má bit 1 → pripočítame 8
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 1 → pripočítame 1
Spolu: 8 + 4 + 2 + 1 = 15 → 1111₂ = 15₁₀
💡 Prečo: Pravidlo 2ⁿ − 1: 2⁴ − 1 = 15. Nibble vie zapísať 16 hodnôt (0 až 15).
Výsledok: 1111₂ = 15₁₀
Príklad 14Stredný
V bajte 10110010₂ určte MSB a LSB, ich váhy a dekadickú hodnotu celého bajtu.

MSB = ľavý bit = 1, váha 128. LSB = pravý bit = 0, váha 1.

Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha1286432168421
bit10110010
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 128 má bit 1 → pripočítame 128
  • Pozícia s váhou 64 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 32 má bit 1 → pripočítame 32
  • Pozícia s váhou 16 má bit 1 → pripočítame 16
  • Pozícia s váhou 8 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 4 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 0 → vynecháme (0)
Spolu: 128 + 32 + 16 + 2 = 178 → 10110010₂ = 178₁₀
💡 Prečo: Zmena LSB zmení číslo iba o 1 (178 → 179), zmena MSB o 128 (178 → 50). Odtiaľ názvy „najmenej“ a „najviac“ významný bit.
Výsledok: MSB = 1 (váha 128), LSB = 0 (váha 1), 10110010₂ = 178₁₀
Príklad 15Náročný
Dá sa číslo 300₁₀ uložiť do jedného bajtu? Koľko bitov potrebuje?

Maximum bajtu je 255, a 300 > 255 → do 1 bajtu sa nezmestí. Prevedieme ho:

Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 300 ÷ 2 = 150  (zvyšok 0 ← LSB)
  • 150 ÷ 2 = 75  (zvyšok 0)
  • 75 ÷ 2 = 37  (zvyšok 1)
  • 37 ÷ 2 = 18  (zvyšok 1)
  • 18 ÷ 2 = 9  (zvyšok 0)
  • 9 ÷ 2 = 4  (zvyšok 1)
  • 4 ÷ 2 = 2  (zvyšok 0)
  • 2 ÷ 2 = 1  (zvyšok 0)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 100101100, teda 300₁₀ = 100101100₂

Výsledok má 9 zvyškov, teda 9 bitov.

✓ Kontrola: 100101100₂ = 256 + 32 + 8 + 4 = 300 ✓
Výsledok: Nie; 300₁₀ = 100101100₂, potrebuje 9 bitov
E. Kombinované príklady a aplikácie
Príklad 16Stredný
Ktoré číslo je väčšie: 110011₂ alebo 50₁₀?

Čísla v rôznych sústavách prevedieme do jednej — 110011₂ metódou váh:

Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha32168421
bit110011
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 32 má bit 1 → pripočítame 32
  • Pozícia s váhou 16 má bit 1 → pripočítame 16
  • Pozícia s váhou 8 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 4 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 1 → pripočítame 1
Spolu: 32 + 16 + 2 + 1 = 51 → 110011₂ = 51₁₀

Porovnáme: 51 > 50.

💡 Prečo: Zápis 110011 vyzerá ako „stotisíc“, no v dvojkovej sústave má hodnotu iba 51.
Výsledok: 110011₂ (= 51) je väčšie o 1
Príklad 17Stredný
Vypočítajte 1010₂ + 0110₂: preveďte do desiatkovej sústavy, sčítajte a výsledok preveďte späť do dvojkovej.
1. krok — 1010₂:
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha8421
bit1010
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 8 má bit 1 → pripočítame 8
  • Pozícia s váhou 4 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 0 → vynecháme (0)
Spolu: 8 + 2 = 10 → 1010₂ = 10₁₀
2. krok — 0110₂:
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha8421
bit0110
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 8 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 1 → pripočítame 2
  • Pozícia s váhou 1 má bit 0 → vynecháme (0)
Spolu: 4 + 2 = 6 → 0110₂ = 6₁₀
3. krok — súčet: 10 + 6 = 16
4. krok — 16 späť do binárnej:
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 16 ÷ 2 = 8  (zvyšok 0 ← LSB)
  • 8 ÷ 2 = 4  (zvyšok 0)
  • 4 ÷ 2 = 2  (zvyšok 0)
  • 2 ÷ 2 = 1  (zvyšok 0)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 10000, teda 16₁₀ = 10000₂
💡 Prečo: 16 = 2⁴ je mocnina dvojky, preto má v binárnom zápise iba jednu jednotku — ako 1000 = 10³.
Výsledok: 1010₂ + 0110₂ = 10000₂ (= 16₁₀)
Príklad 18Náročný
Skladový senzor posiela stav ako rad 8 kontroliek (svieti = 1, nesvieti = 0). Kontrolky ukazujú 0 1 1 0 0 1 0 0. Koľko kusov tovaru je na sklade? Ako by kontrolky vyzerali pri 37 kusoch?
a) Stav kontroliek → počet kusov (metóda váh):
Váhy jednotlivých pozícií a hodnoty bitov:
váha1286432168421
bit01100100
Sčítame iba tie váhy, kde sa nachádza bit 1 (keďže 0 · váha = 0):
  • Pozícia s váhou 128 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 64 má bit 1 → pripočítame 64
  • Pozícia s váhou 32 má bit 1 → pripočítame 32
  • Pozícia s váhou 16 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 8 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 4 má bit 1 → pripočítame 4
  • Pozícia s váhou 2 má bit 0 → vynecháme (0)
  • Pozícia s váhou 1 má bit 0 → vynecháme (0)
Spolu: 64 + 32 + 4 = 100 → 01100100₂ = 100₁₀
b) 37 kusov → kontrolky (delenie dvomi):
Delíme dvomi a zapisujeme zvyšky, kým podiel nie je 0:
  • 37 ÷ 2 = 18  (zvyšok 1 ← LSB)
  • 18 ÷ 2 = 9  (zvyšok 0)
  • 9 ÷ 2 = 4  (zvyšok 1)
  • 4 ÷ 2 = 2  (zvyšok 0)
  • 2 ÷ 2 = 1  (zvyšok 0)
  • 1 ÷ 2 = 0  (zvyšok 1 ← MSB)
Zvyšky čítané zdola nahor (od posledného k prvému) dajú postupnosť 100101, teda 37₁₀ = 100101₂

Senzor má 8 kontroliek, preto doplníme nuly zľava: 100101 → 00100101.

💡 Prečo: Nuly zľava hodnotu nemenia (rovnako ako 0037 = 37). Senzor s 8 kontrolkami ukáže najviac 255 kusov.
✓ Kontrola: 00100101₂ = 32 + 4 + 1 = 37 ✓
Výsledok: 100 kusov; pri 37 kusoch: 0 0 1 0 0 1 0 1

Záverečný test

20 otázok, každá za 1 bod. Časť A: rozhodni, či je výrok pravdivý. Časť B: vyber jednu správnu odpoveď. Po vyhodnotení sa zobrazí vysvetlenie.

Po zvolení odpovede hneď uvidíš, či je správna, aj vysvetlenie. Odpoveď sa potom už nedá zmeniť.